Normales concourantes à une parabole en un point donné

[invite1f6f782c]

Bonjour à tous !

Je suis, depuis peu, confronté à un problème.
En considérant la parabole d'équation et un point du plan, je cherche à déterminer en fonction de et le nombre de normales à cette parabole passant par A.

Avec un système d'équations paramétriques , j'ai déjà trouvé que le problème équivalait à discuter le nombre de solutions d'une équation du troisième degré (cette équation étant la CNS pour que le point A appartienne à la normale à la parabole issue du point M de paramètre t).

La méthode est sans doute juste, mais je doute qu'elle soit la bonne car une telle résolution me paraît compliquée.

Y aurait-il une autre solution ? Ou alors, comment continuer ?

Merci d'avance.
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[invite1f6f782c]

J'ai utilisé cette méthode car j'avais déjà réussi à évaluer le nombre de tangentes à la parabole passant par A avec un raisonnement analogue (sauf qu'alors l'équation obtenue était du second degré et ne posait aucun problème, il suffisait d'étudier les différents cas du signe du discriminant).