Dérivée N-ieme de tan

[invite60c04c44]

Bonsoir

Je dois montrer que tan est AM.
Pour cela il faut que je montre que ses dérivées successives s'écrivent sous la forme d'un polynome à coefficients constants en tan.

Mais je peine dans la récurrence.
Des indications svp?
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[invite899aa2b3]

Bonsoir.
Si est un polynôme en à coefficients constants, que peux-tu dire de ?

[invite60c04c44]

On a :

tan⁽ⁿ⁺¹⁾ = [tan⁽ⁿ⁾] '

[invite60c04c44]

Par contre dans chaque dérivée successive, on arrive à factoriser par tan^2 +1

Mais après je ne sais pas comment m'y prendre...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2220c077]

Salut Luc,

On pose , avec

Montre par récurrence qu'il existe des constantes telles que

Tu traites le cas n = 0, qui est évident. Puis tu supposes la propriété vraie au rang n puis tu montres qu'elle est vrai au rang n + 1(attention, X est une fonction, ici , donc

[invite60c04c44]

Salut Guillaume

Donc pour l'initialisation:
n=0 evident

Hérédité:
on montre au rang n+1:
donc on a tan⁽ⁿ⁺¹⁾= [somme ai.Xi]'

[inviteaf1870ed]

Bonsoir

Je dois montrer que tan est AM.
Pour cela il faut que je montre que ses dérivées successives s'écrivent sous la forme d'un polynome à coefficients constants en tan.

Mais je peine dans la récurrence.
Des indications svp?

C'est quoi AM ?

[invite57a1e779]

AM, c'est « absolument monotone » : toutes les dérivées successives sont positives.