Je dois étudier la continuité d'une fonction sur son domaine de définition. Que dites vous de mon raisonnement
f : x --> E(x)+(x-E(x))²
soit n Soit n € Z, on a f(n)= n+(n-(n))²= n
lim f(x) = lim n-1+(x-(n-1))²= n-1+1= n
La fonction f(x) est donc continue sur R
Ton raisonnement ne prend en compte que la limite à gauche quand x tend vers n, il faudrait voir comment il en va quand x s'approche de n par la droite (tu obtiendras aussi la valeur de n). Sauf erreur de ma part (je ne me rappelle plus s'il y a double implication ou pas ; s'il n'y en a pas, alors je me trompe), mais un théorème d'analyse réelle dit que si les deux limites à droite et à gauche existent et convergent vers la même limite, alors la limite 'totale' converge vers cette même limite. Ce résultat, combiné avec ce que tu as fait et ce que tu devrais faire pour la limite à droite, devrait te permettre de conclure. Évidemment, si la limite égale la valeur de la fonction en n, alors tu as démontré la continuité de la fonction sur les entiers.
Oui, voilà. Je pense que ton avis porte sur le fameux domaine de définition. Il faut que je le dénicheÉvidemment, si la limite égale la valeur de la fonction en n, alors tu as démontré la continuité de la fonction sur les entiers.
C'est que ta fonction semble, d'après ce que tu dis, définie sur les réels. Ta démarche par contre ne considérais que les limites à gauche pour x tendant vers des valeurs entières. Il faut aussi que tu considères les valeurs à droites des limites pour x tendant vers des valeurs entières et, selon un théorème, si ces deux limites s'égalent et valent L, alors la limite 'totale' pour x tendant vers des valeurs entières vaut L. Pour déterminer la continuité, il faut que cette valeur L = f(n), n entier.
Dans tout ceci, tu n'as néanmoins considéré la continuité de la fonction f que sur le domaine des entiers (naturels). Néanmoins, il faut tu regardes la continuité de f pour x élément de ]n, n+1[ (n étant un naturel) aussi. Cela se fait plus facilement. Tout ceci fait, tu auras démontré la continuité de f sur les réels positifs. Le cas de réels négatifs dépend de comment tu définies la fonction E(x) pour x négatif (je ne pense pas que ça ait une influence sur la continuité, mais dans la façon de la démontrer un peu).
