Famille génératice, libre, combinaison linéaire et dimension

[inviteb9f62fc5]

Bonjour à tous,
voila je ne sais plus comment savoir quel vecteur est combinaison linéaire d'un autre dans une famille de n vecteurs.
Les cours que j'ai et ceux sur certains sites éducatifs manquent d'exemples, et les démonstrations que je possèdent de m'aident pas assez.

Par exemple je cherche la dimension de la famille ((1,-1,2,0);(1,2,1,-1);(2,1,3,0);(1,-1,2,-1))
J'ai cherché si cette famille est libre : elle ne l'est pas, donc son rang est inférieur ou égal à 3... à partir de là je ne vois pas quelle est la méthode pour trouvé quel vecteur enlevé pour trouver ensuite son rang.
Merci de bien vouloir m'aider
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[invité576543]

J'ai cherché si cette famille est libre : elle ne l'est pas, donc son rang est inférieur ou égal à 3...

Comment as-tu obtenu cette conclusion précisément?

Cordialement,

[inviteb9f62fc5]

On a 4 vecteurs dans cette famille or celle-ci est liée, donc il y a forcément au maximum 3 vecteurs de "base" puisqu'un les des 4 est combinaison linéaire (CL) d'un autre et ç'est la que je ne trouve pas la méthode pour savoir lequel est CL de l'autre...
(une proposition du cours dit que toute famille libre possédant d éléments est une base, et comme celle-ci n'est pas libre.. j'en est déduis ça, me serait je trompé ?)
merci

[invitebe08d051]

Tu n'a qu'a enlever celui qui s'écrit sous forme de CL des autres.

Remarque: quand tu dit famille génératrice ou base il faut toujours cité de quel espace/ sous espace vectoriel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

On a 4 vecteurs dans cette famille or celle-ci est liée

Je suis têtu aussi. Comment le sais-tu, qu'elle est liée?

Cordialement,

[inviteb9f62fc5]

Oui bien sur je peux enlever celui qui "saute a l'œil" et qui est CL des autres vecteurs mais dans ce cas la personnellement je ne sais pas, je cherche la méthode au cas ou on ne le voit pas au premier coup d'oeil.

Pour répondre à Michel : Quand je résout mon système pour savoir si la famille est libre, j'arrive à la fin à une infinité de solution
(j'ai quelque chose comme ceci : b=-d, c=d, a=-d mais c'est juste un exemple pour faire comprendre mon idée.)

[invité576543]

Pour répondre à Michel : Quand je résout mon système pour savoir si la famille est libre, j'arrive à la fin à une infinité de solution
(j'ai quelque chose comme ceci : b=-d, c=d, a=-d mais c'est juste un exemple pour faire comprendre mon idée.)

Si c'est ce que tu as fait, la méthode t'indique toujours une combinaison linéaire particulière et quel vecteur tu peux enlever.

Cordialement,

[inviteb9f62fc5]

hm désolé d'insister.. mais de mon résultat je peux voir quel vecteur enlever ?
ou bien j'enlève un vecteur et je recommence pour voir si c'est lui le bon ? =s

[invitebe08d051]

Je crois pas qu'on pourra finir notre discussion comme ça.
Je te propose de poster un exemple on te montrera alors comment ton résultat t'indique quel vecteur tu peux enlever.

[inviteb9f62fc5]

Peut être oui, j'aurais mieux dû m'y prendre... mais je voulais comprendre pour un cas général enfin..
alors voila :

On a la famille F=((1,-1,2,0);(1,2,1,-1);(2,1,3,0);(1,-1,2,-1)) (appelons ces vecteurs v1, v2, v3, v4 respectivement)

La question est de déterminer le rang de la famille. J'ai commencé à voir si cette famille est libre comme je l'ai expliqué précédemment, j'ai résolu le système suivant : av1+bv2+cv3+dv4 =0 (a,b,c,d des réels)
d'où je trouve une infinité de solution : b=-d, c=d, a=-d
et là ce pose ma question pour savoir quel est le vecteur qui est CL d'autres vecteurs de sa famille.

[invité576543]

Peut être oui, j'aurais mieux dû m'y prendre... mais je voulais comprendre pour un cas général enfin..
alors voila :

On a la famille F=((1,-1,2,0);(1,2,1,-1);(2,1,3,0);(1,-1,2,-1)) (appelons ces vecteurs v1, v2, v3, v4 respectivement)

La question est de déterminer le rang de la famille. J'ai commencé à voir si cette famille est libre comme je l'ai expliqué précédemment, j'ai résolu le système suivant : av1+bv2+cv3+dv4 =0 (a,b,c,d des réels)
d'où je trouve une infinité de solution : b=-d, c=d, a=-d
et là ce pose ma question pour savoir quel est le vecteur qui est CL d'autres vecteurs de sa famille.

La règle est simple : tu peux enlever n'importe quel vecteur dont le coefficient est non nul dans la combinaison. Dans le cas présent, n'importe lequel.

Cordialement,

PS : il y a une seule solution, à un facteur multiplicatif près. a=1, b=1, c=-1 et d=-1

[inviteb9f62fc5]

Ok, je comprend
Merci du coup de main
Bonne soirée