Dm Analyse

[inviteba9bce0d]

Bonjour,
je suis en deuxième année d'IUT informatique et le professeur de maths ayant été absent pendant tout le semestre, on nous a demandé de faire un DM assez simplifié du programme. Cependant j'aimerais vraiment le réussir car il représente 50% de la note finale dans cette matière.

Pour commencer voilà le sujet : click

Je commence par vous montrer ce que j'ai fait à l'exercice 1:

I.1.a
On a , donc d'après le cours,

I.1.b
Par définition, si f une fonction réelle d'une variable réelle et soient x0 et x1 deux réels tels que f soit définie en ces 2 réels, alors pour les points N(x1,f(x1)) et M(x0,f(x0)),
Dans notre exercice, on sait que f est dérivable, donc définie sur R. On a donc :

I.1.c
Là je vois pas trop. On voit que , mais après ...

I.2
Ici encore, on a une forme indéterminé, et je ne vois pas bien comment utiliser ce qu'on a vu précédemment.


Merci à ceux qui m'apporterons leur aides
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[invitebe08d051]

N'oublie pas dans ton cas, que le taux d'accroissement correspond au nombre dérivé.

[inviteba9bce0d]

Exercice II:

II.1
Cela signifie que
On peut dire aussi que la suite est divergente.

II.2
On a
Vn est donc minoré par Un et tend également vers l'infini. Elle diverge.

II.3
Raisonnons par récurrence.
Soit la proposition Pn : "a_n <= b_n"

Initialisation : on voit que a₀ = b₀, donc P0 est vraie

Hérédité : On suppose Pk vraie pour un certain entier k:


or , donc

Donc

D'où b_n+1 >= a_n+1
Pk vraie => Pk+1 vraie

Conclusion: A l'aide d'un raisonnement par récurrence, on a montré que pour tout n€N, Pn est vraie

On en conclut que b_n est minoré par a_n

Si vous voyez des remarques ...

[inviteba9bce0d]

N'oublie pas dans ton cas, que le taux d'accroissement correspond au nombre dérivé.

Le nombre dérivé, certes, mais en quel point ? On sait d'après le théorème de Rolle que ce point appartient à ]0;x[ mais après je vois pas trop ... (on peut résoudre l'équation cos(x) = sin(x)/x, mais là encore j'en voit pas l'intérêt)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

(on peut résoudre l'équation cos(x) = sin(x)/x, mais là encore j'en voit pas l'intérêt)

Non, non !
Vous avez deux expression du taux d'accroissement, une donné par votre formule générale, et une donnée par sin(x)/x.
Or que devient votre formule générale lorsque x tend vers 0 (définition de ...) ? Et n'y a-t-il pas, du coup une deuxième façon de calculer ce taux, quand x tend vers 0 ?

[inviteba9bce0d]

On a ?

Or f'(0) = cos(0) = 1 ?

g admet donc bien une limite fini en 0 qui est 1

[Médiat]

On a ?

Or f'(0) = cos(0) = 1 ?

g admet donc bien une limite fini en 0 qui est 1

_ _

[inviteba9bce0d]

Pour la question I.2 :
On procède par changement de variable : n=1/x.
On a donc Un = nsin(1/n) = sin(x)/x, or n->+infini <=> x->0
donc

Si on met de coté la formulation, la rigueur est-elle bonne ? Car n est censé être un naturel et on le remplace par 1/x ...
Et pour l'exo 2?

[inviteba9bce0d]

Exercice III :

III.1 :
On sait que cos(x)²+sin(x)² = 1, donc

III.2 :
Pour que deux suites soient adjacentes, il faut qu'une des deux soit croissante, l'autre décroissante et que lim(s1) = lim(s2)
Or il est impossible de déduire le comportement de Un et Vn que ce soit par quotient ou par différence avec le terme supérieur.
Elles ne sont donc pas adjacentes.

III.3 :
On a et

On peut remarquer que pour tout n,
et

Étudions les comportements de Sn et Tn:


Étudier le signe de S_n+1-S_n revient à étudier celui de car 2(n+1)2n >0

or on sait que pour tout n, donc :


Sn est donc décroissante.

Étudions Tn :



Étudier le signe de T_n+1-T_n revient à étudier celui de car (2(n+1)+1)(2n+1) >0

or on sait que donc :



Tn est donc croissante

On a également
et


On a Sn décroissante, Tn croissante et lim(sn)=lim(tn)
On peut donc en conclure que Sn et Tn sont adjacentes.


J'aurais peut être du éviter de coller des gros paquet de formules mais bon, si vous voyez des erreurs

[inviteba9bce0d]

Salut,
j'ai fait l'exercice 4 mais je ne suis vraiment pas sur du résultat. Ce serait sympa que quelqu'un donne son avis sur cet exo et les précédents ^^
Merci.

Exercice 4 :

Suite de Cauchy : Une suite Un est de Cauchy si

On cherche donc N en fonction de qui vérifie la propriété précédente.



Or , donc



Or

Donc

Si , alors on a trouvé !

[invite57a1e779]

Or , donc

Ce passage me semble devoir être revu.

[inviteba9bce0d]

Effectivement c'est faux !

J'ai trouvé quelque chose de mieux :
D'après l'inégalité triangulaire,

or comme -1<=cos(x)<=1 alors:


Et ensuite je suis le même raisonnement (qui maintenant est juste car on a un +) ?

[invite57a1e779]

La majoration par inégalité triangulaire est beaucoup plus convaincante.

ensuite je suis le même raisonnement.

Il y a peut-être quelques modifications à apporter.

[inviteba9bce0d]

D'après l'inégalité triangulaire,

or comme -1<=cos(x)<=1 alors:


or , donc



On résous donc et on trouve


Ce qui pose problème car pour epsilon petit, ln(1/(eps-1)) n'existe pas ...

[invite57a1e779]

Ton problème vient de ce que la majoration est beaucoup trop forte.

[inviteba9bce0d]

Hum,
On fixe p<q et on major par 1/2^p ?

[invitea0db811c]

Bonsoir,

Pense à une factorisation.

[invite57a1e779]

on major par 1/2^p ?

C'est l'idée, mais on a comme hypothèse : et .

[inviteba9bce0d]

En quoi l'hypothèse m'empêche de poser p<q ?

Ainsi on a :


.... ce qui donne

[invite57a1e779]

Il y a une erreur dans le sens de tes inégalités.

[inviteba9bce0d]

Euh,
1/2^(p-1) <= E
<=> 2^(p-1) >= 1/E
non?

[inviteba9bce0d]

S'il n'y a plus de problème pour l'exercice 4, vous pensez quoi des exo
II : click
I.2 : click
et III : click ?

Merci.

[inviteba9bce0d]

Up !

Çà ne doit pas être très amusant de "corriger" mes exercices, mais j'ai vraiment besoin de savoir ce que vous en pensez.

Merci ^^