Fonction échelon unité

[invite1cf28ac3]

bonjour, comment decomposer f avec echelon unite


f de t = 0 si t inf 0
f de t = 1 si 0 inf t inf pi/2
f de t = -1 si pi/2 inf t inf pi
f de t = 0 si t sup pi


merci d'avance
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[invite6f25a1fe]

Il faut que tu utilises des échelons décalés dans le temps.
Pour cela, il suffit de faire un dessin.

Voila comment débuter :
de -infini à 0 : tu dois avoir 0 : donc on ne fait rien pour le moment
de 0 à pi/2 : on veut avoir 1 : ca tombe bien l'échelon correspond parfaitement à cette contrainte ainsi qu'à la précédent (un échelon standard vaut 0 sur la partie négative, et 1 sur la partie positive)

problème : cet échelon vaut 1 au dela de pi/2. Il va donc falloir que tu ajoutes un autre échelon décalé (donc commencant qu'en pi/2) qui va annulé ce +1 de pi/2 à l'inifini

Puis tu continue pour obtenir toute ta fonction

[invite1cf28ac3]

merci, donc ça fait
f(t) = Ut + U (t - pi ) - U(t) <-- inverse de U(t) sur (pi/2 ; + infini)

[invite6f25a1fe]

non, pas tout à fait, mais presque (ou alors je n'ai pas compris ton "inverse de U(t) sur pi/2; +infini")

Soit u(t) l'échelon qui vaut 0 pour t négatif et 1 pour t positif, trace sur un graph les fonctions :

1) u(t)
2) u(t)-u(t-pi/2)
3) u(t)-2.u(t-pi/2)

Je te laisse conclure ... Une fois que tu auras compris le principe, tu pourras écrire plein de fonctions (on peut faire ca avec des échelons, mais aussi avec des fonctions rampes etc..., très pratique après lorsqu'on veut utiliser la transformée de Laplace)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1cf28ac3]

je comprends rien !! La fonction vaut soit soit 0 soit 1 soit -1 soit 0 il y a 4 conditions or selon lechelon unite c'est soit 1 soit 0 c'ets bein pour les 2 eres conditions. Merci d'avance.

[invite6f25a1fe]

je comprends rien !! La fonction vaut soit soit 0 soit 1 soit -1 soit 0 il y a 4 conditions or selon lechelon unite c'est soit 1 soit 0 c'ets bein pour les 2 eres conditions. Merci d'avance.

Oui, l'échelon unité u(t) ne vaut que 0 ou 1. Ca n'empèche pas de pouvoir écrire une fonction f qui ne vaut pas 1 ou 0 grace à u(t).

La preuve, 2*u(t) vaudra 0 pour t négatif, et 2 pour t positif.
En gros k*u(t-a) vaudra 0 pour t inférieur à a, et k pour t supérieur à a.

En sommant des k*u(t-a) avec des k et a différents on peut obtenir beaucoup de fonctions différentes (dont celle que tu cherches)

As tu fais les graphs (sur un dessin, on voit bien ce qui se passe, non ?)

pour moi, la solution est :

j'ai fait les graphs pour aider à comprendre...

[invite1cf28ac3]

Oui, l'échelon unité u(t) ne vaut que 0 ou 1. Ca n'empèche pas de pouvoir écrire une fonction f qui ne vaut pas 1 ou 0 grace à u(t).

La preuve, 2*u(t) vaudra 0 pour t négatif, et 2 pour t positif.
En gros k*u(t-a) vaudra 0 pour t inférieur à a, et k pour t supérieur à a.

En sommant des k*u(t-a) avec des k et a différents on peut obtenir beaucoup de fonctions différentes (dont celle que tu cherches)

As tu fais les graphs (sur un dessin, on voit bien ce qui se passe, non ?)



pour moi, la solution est :

j'ai fait les graphs pour aider à comprendre...

pour moi c'est regulier ca fait un carré en positif et un carre en negatif

alors je vois pas pourquoi il y a un - 2 avant le pi /2 et pas -1

merci d'avance

[invite6f25a1fe]

il y a un -2 parce que :
- il faut compenser le fait que tu as mis un +1 partout pour t>pi/2 (dû à u(t) ) : donc on a déjà -1
- il faut en plus obtenir -1 entre pi/2 et pi : on a donc un autre -1, d'où le -2 au total.

P.S : regarde les graphs que j'ai mis dans mon post précédent. Ne voit tu toujours pas pourquoi on a besoind'un -2 ?

[invite1cf28ac3]

il y a un -2 parce que :
- il faut compenser le fait que tu as mis un +1 partout pour t>pi/2 (dû à u(t) ) : donc on a déjà -1
- il faut en plus obtenir -1 entre pi/2 et pi : on a donc un autre -1, d'où le -2 au total.

P.S : regarde les graphs que j'ai mis dans mon post précédent. Ne voit tu toujours pas pourquoi on a besoind'un -2 ?

purquoi à la fin ce n'est pas -u(t -pi) car il n'es pas à la meme hauteur que u(t)?

[invite6f25a1fe]

purquoi à la fin ce n'est pas -u(t -pi) car il n'es pas à la meme hauteur que u(t)?

toujours pour la même raison que le fait de mettre -2.u(t-pi/2) et non -1.u(t-pi/2) : il faut compenser ce qu'on a mis en trop !

Dans ce cas, on a mis du -2.u(t-pi/2). Donc pour tous les x supérieurs à pi/2, on est à -1 (car une partie a servi à compenser le +1 du u(t) inital). Or on ne veut l'être que pour les x situés entre pi/2 et pi. Il faut donc bien ajouter +1 (et non -1) pour compenser et faire que tous les x supérieurs à pi se retrouvent à 0

Si tu as des doutes, essaye en un point : par exemple en x=4, donc superieur à pi, on a :

Tu vois bien ici que si tu mets -u(t-pi) au lieu de +u(t-pi), tu vas obtenir f(4)=-3

et pour x=3 (donc entre pi/2 et pi), on a bien

c'est bien ce qu'on voulait