Calcul du vecteur dans R^4

[invite0e4e0ab1]

Bonjour à tous; bonne et heureuse année 2010!

Pour démarrer cette année en fanfare j'ai ce petit exercice ou je comprends le système de calcul de l'équation vectorielle dans R^3 mais ici c'est R^4. Rien de bien méchant, cependant, je me demande si je dois agir comme dans R^4 car je n'arrive pas à un résultat satisfaisant... Avez vous un avis?

Soit a un parametre reel. On considere la famille

u = (1, a, a, a2),
v = (a, 1, a2, a),
w = (a, a2, 1, a) et
x = (a2, a, a, 1) de vecteurs de R^4.

a) Pour quelles valeurs de a cette famille est-elle li´ee ?

b) Pour quelles valeurs de a cette famille est-elle une base de R4 ?
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[invite6bacc516]

Tu peux en effet résoudre, comme dans , le système d'équations donné par une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs ; cependant ça ne semble pas très commode : un calcul de déterminant de matrice semble plus adapté.

[invitef4d471fc]

cette famille est li´ee si det(u,v,w,x)=0
ou bien la matrice formee par les vecteur u,v,w,x est de rang <4 => les matrice carre d'ordre 3 extrais sont de det=0.
donc on va trouver un systeme de 3 equations avec 3 inconnues .

[invitef4d471fc]

cette famille est li´ee si det(u,v,w,x)=0

[A voir en vidéo sur Futura]