Devoir sur équations différentielles et exponentielle

[invitea97b4264]

Bonjour à tous !

Je travaille sur un devoir depuis plusieurs jours et je ne parviens pas à résoudre un exercice de ce devoir, voici l'énoncé :

On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f' sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes :
(1) pour tout x de R, [f'(x)]² - [f(x)]² = 1
(2) f'(0) = 1
(3) La fonction f' est dérivable sur R

1) a Démontrer que, pour tout nombre réel x, f'(x) est différent de 0.
b. Calculer f(0)

2) En dérivant chaque membre de l'égalité de la prop (1), démontrer que "pour tout réel x, f''(x) = f(x)" où f'' désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f.

Merci d'avance pour votre aide PRECIEUSE ! =D
-----

[invitea97b4264]

J'ai bien sur déja commencé a réfléchir dessus pour 1) a

Je me suis inspirée de la démonstration de la solution unique du système qui a pour solution unique exp:

[f'(x)]² - [f(x)]² = 1² <=> f'(x) - f(x) = 1
<=> f'(x) = f(x)
f'(0) = 1 sur R

Or si f est solution du système {f'(x) = f(x)
{f'(0) = 1
alors f'(x) différent de 0.

Cette partie est correcte ?

[Médiat]

Cette partie est correcte ?

C'est faux dès la première ligne
par contre il est aisé de constater d'après l'équation de départ que
f'(x) = 0 => - [f(x)]² = 1 (à mon avis il y a une conclusion à tirer )

[invitea97b4264]

Peut tu devellopper ton raisonnement je suis en terminale S et jai posté cette discussion sur le forum sup personne ne semblait apte a répondre sur le forum collège lycée

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Peut tu devellopper ton raisonnement je suis en terminale S et jai posté cette discussion sur le forum sup personne ne semblait apte a répondre sur le forum collège lycée

C'est inquiétant : Il suffit de remplacer f'(x) par 0 dans l'équation de départ ...

[invite5150dbce]

Peut tu devellopper ton raisonnement je suis en terminale S et jai posté cette discussion sur le forum sup personne ne semblait apte a répondre sur le forum collège lycée

?? Personne ne semble apte ??
Déjà tout le monde n'est pas à ta disposition.
On est pas forcément connecté 24h sur 24
Deuxièmement il y a beaucoup de sujets et en général on choisit de répondre à celui qui nous parait le plus intéressant.

[invitea97b4264]

Oui j'ai compris donc on obtient :
f'(x) = 0 <=> (f(x))² = -1 je pense qu'il faudrait prouver que (f(x))² ne peut pas etre égal à -1 mais je ne vois pas comment :S

[invitea97b4264]

?? Personne ne semble apte ??
Déjà tout le monde n'est pas à ta disposition.
On est pas forcément connecté 24h sur 24
Deuxièmement il y a beaucoup de sujets et en général on choisit de répondre à celui qui nous parait le plus intéressant.

Je le devine bien mais ca fait tpas mal de temps que je galère sur ce forum pour trouver de l'aide et personne ne m'en donnai jusqu'à présent dans le forum maths lycée collège alors je suis venue poster mon sujet ici en espérant d'avoir une réponse. Je ne vois pas ce qu'il y a de mal la dedans et je n'ai jamais obligé personne a m'aider mais je suis tout a fait libre de chercher l'aide la ou on la trouve c'est tout.

[invite5150dbce]

Je le devine bien mais ca fait tpas mal de temps que je galère sur ce forum pour trouver de l'aide et personne ne m'en donnai jusqu'à présent dans le forum maths lycée collège alors je suis venue poster mon sujet ici en espérant d'avoir une réponse. Je ne vois pas ce qu'il y a de mal la dedans et je n'ai jamais obligé personne a m'aider mais je suis tout a fait libre de chercher l'aide la ou on la trouve c'est tout.

Non c'est pas ça qui me dérange, c'est la formule "personne ne semblait apte a répondre". Je pensais que tu nous prenais pour des gogols

[invitea97b4264]

ah non pas du tout =)

[inviteed869ee5]

Oui j'ai compris donc on obtient :
f'(x) = 0 <=> (f(x))² = -1 je pense qu'il faudrait prouver que (f(x))² ne peut pas etre égal à -1 mais je ne vois pas comment :S

Salut !

Si tu n'as pas déjà trouvé, peut-être qu'il faut te demander ce qu'il se passe au niveau du signe pour des puissances paires (², ⁴, ⁶, ⁸, ...)

[invitea97b4264]

Merci a vous de m'avoir aidé j'ai résolu cette partie de l'exercice ^^ Voici la suite dont je ne suis pas sure donc si vous pouviez confirmer mon raisonnement

4/a. Etudier les limites de la fonction f(x) = (e^x -e^-x) /2
b. Dresser le tableau de variation de la fonction f(x).

[invitea97b4264]

voici mes réponses a ces questions :

4/a. lim f(x) en +00 = +00
car lim e^x en +00 = +00 et lim e^-x en +00 = 0

lim f(x) en -00 = -00
car lim e^x en -00 = 0 et lim e^-x en -00 = +00

b. f'(x) = e^x => la fonction exp est strictement positive donc f(x) est croissante sur ]-00;+00[

C'est correct?