Valeurs propre et vecteurs propres

[invite87ed8069]

Bonjour,
Je me pose quelques questions.
¤ : valeur propre
AX = ¤V s'écrit (A - ¤I) X = 0, pourquoi (A - ¤I) est-elle singulière ?

Sinon je bloque sur :
J'ai une matrice
A :
(1/2 1/2 0)
(1/2 0 1/2)
(0 1/2 1/2)

X
(x)
(y)
(z)


T1
(1)
(1)
(1)

T3
(1)
(-2)
(1)

Calculer les produits AT1 et AT3 et en déduire 2 des valeurs propres de A.

Ca j'ai trouvé, j'obtiens 1 et -1/2.

Par contre deuxième question
Déduire de la question précédente les valeurs propres ¤1,¤2,¤3
(on range les valeurs propres par ordre décroissant : ¤1 > ¤2 > ¤3)
Déterminer le sous-espace propre relatif ¤2.


Comment trouver ¤2 ? Dois je résoudre le système AX - ¤X = 0 ? Ou bien il y a plus simple ?
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[invitea3eb043e]

Tu peux en effet résoudre dét(A - x I) = 0 mais tu peux aussi remarquer que, avec un bon changement d'axes, ta matrice sera diagonale. Or la trace de la matrice ne change pas quand on change d'axes donc la trace de la matrice A (somme des éléments diagonaux) sera la somme des valeurs propres. Et comme tu en connais 2 sur 3, c'est bon !

[invite87ed8069]

merci de ta réponse par contre :
Je me pose une question.
¤ : valeur propre
AX = ¤V s'écrit (A - ¤I) X = 0, pourquoi (A - ¤I) est-elle singulière ?

[invite87ed8069]

je viens de revoir mon cours et en faite, trace de A = somme des valeurs propres, il ne reste plus qu'à faire le calcul ! LOL

[A voir en vidéo sur Futura]