ouverts et fermés dans un espace métrique

[kadomatsu]

Bonjour,
il est connu que dans un espace métrique, l'adhérence de toute boule ouverte est incluse dans la boule fermée de même centre et de même rayon, et l'on sait que dans certains espaces l'inclusion est stricte. Connait-on des critères (sur la distance ou sur la topologie) pour déterminer si l'inclusion est (ou non) une égalité, et y a-t-il des conséquences pratiques propres aux espaces dans lesquels on a l'égalité ? Merci d'avance pour vos commentaires !
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[Universus]

Salut,

il est connu que dans un espace métrique, l'adhérence de toute boule ouverte est incluse dans la boule fermée de même centre et de même rayon, et l'on sait que dans certains espaces l'inclusion est stricte.

Quelqu'un pourrait-il me donner un exemple d'espace métrique dans lequel l'adhérence d'un sous-ensemble de est strictement incluse dans la fermeture de (puisque j'ai toujours entendu dire que l'adhérence d'un ensemble et sa fermeture ne sont qu'une et même chose ; bref, qu'un ensemble est fermé s'il contient son adhérence et l'adhérence d'un ensemble contenant toujours l'ensemble, on a qu'un ensemble est fermé s'il est égal à son adhérence)? Merci.

[kadomatsu]

Je ne crois pas qu'il existe une distinction entre adhérence et fermeture, du moins si cette distinction existe je ne la connais pas.

L'exemple auquel je pensais est un espace muni de la distance ultramétrique d(x,y)=1 si x <> y. Alors la boule ouverte centrée en x de rayon 1 est égale au singleton {x}, tandis que la boule fermée de même centre et rayon est l'espace tout entier. Je ne sais pas si cela répond à ta question, peut-être as-tu fait une petite confusion entre différentes notions ?

Salut,



Quelqu'un pourrait-il me donner un exemple d'espace métrique dans lequel l'adhérence d'un sous-ensemble de est strictement incluse dans la fermeture de (puisque j'ai toujours entendu dire que l'adhérence d'un ensemble et sa fermeture ne sont qu'une et même chose ; bref, qu'un ensemble est fermé s'il contient son adhérence et l'adhérence d'un ensemble contenant toujours l'ensemble, on a qu'un ensemble est fermé s'il est égal à son adhérence)? Merci.

[Universus]

Oui, mais l'adhérence de cette boule ouverte n'en demeure pas moins l'espace tout entier, soit la boule fermée. Ainsi, il n'y a pas inclusion stricte puisqu'il y a égalité. Non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[kadomatsu]

Pour la topologie discrète, "tout est ouvert", donc "tout est fermé" aussi en passant au complémentaire. Ainsi le plus petit fermé qui contient une partie donnée est cette partie elle-même, donc ici le singleton.

Oui, mais l'adhérence de cette boule ouverte n'en demeure pas moins l'espace tout entier, soit la boule fermée. Ainsi, il n'y a pas inclusion stricte puisqu'il y a égalité. Non?

[Universus]

Donc le singleton est la boule ouverte et, en même temps, le plus petit fermé contenant cette boule ouverte (l'adhérence de la boule ouverte) serait aussi le singleton? Je pensais que seul l'ensemble vide et l'ensemble total pouvaient être à la fois ouverts et fermés.

Sinon, la définition que j'ai vraiment apprise de l'adhérence est dans ce cas-ci:

et puisque dont l'intersection avec n'est pas nul pour tout , on aurait que l'adhérence de la boule ouverte est l'ensemble entier .

[kadomatsu]

Si les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés sont l'ensemble vide et l'espace tout entier, on a affaire à un ensemble connexe. Je ne comprends pas trop la définition, où utilises-tu x ?

Donc le singleton est la boule ouverte et, en même temps, le plus petit fermé contenant cette boule ouverte (l'adhérence de la boule ouverte) serait aussi le singleton? Je pensais que seul l'ensemble vide et l'ensemble total pouvaient être à la fois ouverts et fermés.

Sinon, la définition que j'ai vraiment apprise de l'adhérence est dans ce cas-ci:

et puisque dont l'intersection avec n'est pas nul pour tout , on aurait que l'adhérence de la boule ouverte est l'ensemble entier .

[Universus]

Tu as raison pour la connexité, ces concepts sont encore nouveaux pour moi, d'où ma difficulté à comprendre. Néanmoins, la notion d'adhérence, bien que peut-être apprise dans un contexte moins général, l'est un peu moins et en définissant l'adhérence comme je l'ai fait (en prenant comme étant le que tu utilisais précédemment), je ne vois pas pourquoi l'ensemble tout entier ne serait pas l'adhérence de la boule ouverte.

[God's Breath]

Je considère muni de sa topologie usuelle : l'adhérence de l'intervalle est l'intervalle .

Si je décris la topologie de par la distance , alors est la boule ouverte de centre 0 et de rayon 1 et est la boule fermée de centre 0 et de rayon 1.

Si je décris la topologie de par la distance , alors est la boule ouverte de centre 0 et de rayon 1, mais n'est pas la boule fermée de centre 0 et de rayon 1 (qui est .

Les adhérences des boules ne se décrivent pas de la même façon pour les deux distances bien que l'on ait la même topologie.

[kadomatsu]

Pour obtenir l'adhérence de la boule {x}, il faut considérer les points y tels que toute boule centrée en y, aussi petite soit-elle, rencontre {x}. Mais si le rayon de la boule centrée en y est plus petit que 1, alors cette boule est {y}, et elle ne rencontrera {x} que si x=y. Ainsi le passage à la fermeture ne rajoute pas de point à {x}.

Tu as raison pour la connexité, ces concepts sont encore nouveaux pour moi, d'où ma difficulté à comprendre. Néanmoins, la notion d'adhérence, bien que peut-être apprise dans un contexte moins général, l'est un peu moins et en définissant l'adhérence comme je l'ai fait (en prenant comme étant le que tu utilisais précédemment), je ne vois pas pourquoi l'ensemble tout entier ne serait pas l'adhérence de la boule ouverte.

[Universus]

Bonjour,

Désolé, on dirait presque c'est moi qui aie posé une question Voici ce que wikipédia dit à propos de la notion de point d'adhérence (ok, c'est wikipédia, mais cela correspond à ce que j'ai appris) :

En topologie, un point adhérent d'une partie A d'un espace topologique E est un élément de l'adhérence de A, c'est-à-dire un point x de E tel que tout voisinage de x contienne au moins un élément de A.

Autrement dit, si j'utilise au lieu de comme dans la citation ci-dessus ou comme tu faisais et au lieu de , on a que est un point d'adhérence de si . L'ensemble des points d'adhérences de , soit s'écrit simplement.

Ici, est défini comme si et seulement si et vaut 1 sinon. est , la boule ouverte de rayon 1 centrée en et vaut donc dans l'espace métrique le singleton . Jusque là, il me semble que nous sommes d'accord.

Seulement, la boule fermée de rayon 1 et de centre ne vaut-elle pas qui, selon la définition donnée plus haut de l'adhérence, est ?

Le problème provient peut-être d'une question de définition, une sorte de nuance entre différentes définitions. Sur la page Wikipédia donnée plus haut, on définit aussi un point limite comme étant l'intersection de la boule ouverte avec X sans qui doit être non vide. Sur Wikipédia anglais, on inverse les définitions par rapport aux noms. Bref, je me rends compte qu'il semblerait que les noms et les définitions ne soient pas complètement entendus pareillement partout... Ce qui est drôle, c'est que j'ai recommencé l'école aujourd'hui avec un cours d'analyse, le professeur faisant des ''rappels'' sur des notions sur les espaces métriques (en fait, ce sont des notions que nous avions vu en analyse réelle, mais se généralisant facilement aux espaces métriques, d'où les ''rappels'') et le professeur a défini le point d'adhérence comme ce que nous avions appris comme un point d'accumulation (ou un point limite sur le lien ci-haut), ce qui a fait s'interroger un de mes camarades qui me disait justement ''n'est-ce pas plutôt un point d'accumulation cette définition?''. Bref, tout ça pour dire que je pense de plus en plus que c'est la définition première que j'ai apprise de point d'adhérence qui ne fonctionne pas avec la définition courante.

[Universus]

Que c'est comique : le penchant anglais de l'article Wikipédia que j'ai donné plus haut n'a pas la même définition que celle que j'ai donnée, mais il est dit que l'article provient du site PlanetMath. Allant voir sur PlanetMath, on donne la définition que je connais... je n'y comprends plus rien.

[God's Breath]

Ici, est défini comme si et seulement si et vaut 1 sinon. est , la boule ouverte de rayon 1 centrée en et vaut donc dans l'espace métrique le singleton . Jusque là, il me semble que nous sommes d'accord.

Nous sommes d'accord que , donc les singletons sont des ouverts.
Tout sous-ensemble de E est réunion de singletons, donc réunion d'ouvert. Ainsi tout sous-ensemble de E est ouvert.
Par passage au complémentaire, tout sous-ensemble de E est fermé, donc tout sous-ensemble de E est égal à son adhérence.
En particulier les boules ouvertes de rayon 1 sont égales à leur adhérence.
Comme les boules fermées de rayon 1 sont toutes égales à E, et que les boules ouvertes de rayon 1 sont des singletons, j'en déduis que l'adhérence d'une boule ouverte de rayon 1 n'est jamais une boule fermée de rayon 1 dès que E a au moins 2 éléments.

[kadomatsu]

Seulement, la boule fermée de rayon 1 et de centre ne vaut-elle pas qui, selon la définition donnée plus haut de l'adhérence, est ?

Bin en fait il n'y a pas de lien avec la définition donnée plus haut dans le cas le plus général ! Et justement, ma question de départ était de savoir si l'on peut caractériser les ensembles pour lesquels l'ensemble que tu décris correspond bien à la boule fermée puisque ce n'est pas toujours le cas !

[God's Breath]

a question de départ était de savoir si l'on peut caractériser les ensembles pour lesquels l'ensemble que tu décris correspond bien à la boule fermée puisque ce n'est pas toujours le cas !

Voir mon message #9 : la notion de boule est métrique, la notion d'adhérence est topologique.

[kadomatsu]

Mais cela ne me dit pas grand'chose sur d'éventuels critères que l'on pourrait utiliser pour des classes de distances....

[Universus]

Je commence à voir où vous voulez en venir, mais il y a quelques questions que je me pose encore (en fait, depuis le début si ça n'a pas paru) :

1) quelle est la distinction entre la fermeture et l'adhérence d'un ensemble ou dit autrement, comment explicite-t-on la boule fermée connaissant la boule ouverte ?
2) plus récemment vu les différentes versions que j'ai vues, quelle est la définition d'un point d'adhérence?

Nous sommes d'accord que , donc les singletons sont des ouverts.
Tout sous-ensemble de E est réunion de singletons, donc réunion d'ouvert. Ainsi tout sous-ensemble de E est ouvert.

Oui.

Par passage au complémentaire, tout sous-ensemble de E est fermé, donc tout sous-ensemble de E est égal à son adhérence.

Comment fais-tu pour dire 'donc'? De connaissance, un ensemble E est fermé si et seulement s'il est égal à son adhérence dans quel cas je comprendrais, mais cette discussion me fait douter que cela tienne généralement.

Comme les boules fermées de rayon 1 sont toutes égales à E, et que les boules ouvertes de rayon 1 sont des singletons, [...]

Pourquoi? (question 1)

Bref, j'ai l'impression que ces deux dernières citations, la première indique qu'un ensemble est fermé si et seulement s'il est égale à son adhérence (en fait, la première citation n'implique que le ''seulement si'') tandis que la deuxième, en explicitant l'expression ce qu'est la boule fermée d'une façon implicite, semble conclure au contraire...

Autrement, en reprenant ta démarche à un sous-ensemble particulier : et est donc ouvert (puisque union d'ouverts) et son complément, soit , est fermé, donc égal à son adhérence (deuxième citation des trois). Or, cela est . Donc oui, on retombe sur le fait que l'adhérence de la boule ouverte est la boule ouverte, mais on tombe aussi sur le fait que la boule ouverte est aussi fermée, donc pourquoi n'est-elle pas égale à la boule fermée de même rayon même position (et ainsi pourquoi la boule fermée n'est pas égale à l'adhérence de la boule ouverte)?

Merci pour votre aide et j'espère (j'en doute, puisqu'il semble au courant déjà...) que mes questions aideront aussi à quelque part kadomatsu.

[God's Breath]

On considère un ensemble , et deux distances et sur .

On considère alors l'application


En suivant Yves Sonntag, on dit que :

- les distances et sont topologiquement équivalentes si est un homéomorphisme ;
- les distances et sont uniformément équivalentes si et sa réciproque sont uniformément continues ;
- les distances et sont bornologiquement équivalentes si elles sont uniformément équivalentes et si et sa réciproque transforment les bornés en bornés ;
- les distances et sont équivalentes si et sa réciproque sont lipschitziennes.

La propriété que tu envisages doit imposer aux distances d'être bornologiquement équivalentes, condition qui est peut-être suffisante.

[God's Breath]

De connaissance, un ensemble E est fermé si et seulement s'il est égal à son adhérence

L'adhérence de est le plus petit fermé qui contient .
L'adhérence est donc un fermé par définition : si alors est fermé.
Si est fermé, c'est un fermé qui contient , et on peut difficilement trouver un ensemble plus petit que qui contienne , donc .

Je prends un exemple classique : muni de la distance usuelle, .

La boule ouverte de centre 3 et de rayon 1/2 est réduite au singleton {3}, donc ce singleton est ouvert.
La boule fermée de centre 3 et de rayon 1/2 est réduite au singleton {3}, donc ce singleton est fermé : par conséquent l'adhérence du singleton est le singleton lui-même.
Dans ce cas la boule ouverte est égale à la boule fermée de même centre et de même rayon , et la boule fermée est l'adhérence de la boule ouverte.

La boule ouverte de centre 3 et de rayon 1 est réduite au singleton {3}. L'adhérence de cette boule ouverte est donc le singleton {3} c'est-à-dire la boule ouverte elle-même.
La boule fermée de centre 3 et de rayon 1 est l'ensemble {2,3,4}.
Il est clair que cette boule fermée n'est pas le singleton {3} donc n'est pas l'adhérence de la boule ouverte de même centre et de même rayon.

[Universus]

Merci God's Breath,

Pour te répondre, je vais débuter un nouveau fil (puisque j'ai peut-être encore quelques questions) afin de ne pas détourner ce fil plus longtemps. Néanmoins, je viens de voir la nuance qui m'échappait.

[kadomatsu]

Après une nuit et une matinée de réflexion, j'en arrive au point suivant (je garde les notations Bo(x,epsilon) et Bf(x,epsilon) pour les boules respectivement ouverte ou fermée, de centre x et de rayon epsilon).

La question initiale me semble fortement reliée à celle de caractériser les distances telles que, pour tout élement x et pour tout epsilon strictement positif :
1) Bo(x,epsilon) est strictement contenue dans Bf(x,epsilon),
2) Pour tout delta strictement positif, Bf(x,epsilon) est strictement contenue dans Bo(x,epsilon+delta).

Si j'ai bien compris le message précédent de God's Breath, j'en déduis que si une distance vérifie ces propriétés, alors toutes les distances qui lui sont bornologiquement équivalentes les vérifient également. Mais si on ne connaît qu'une topologie métrisable (ou mettons que l'on connaisse une distance qui ne vérifie pas ces propriétés), comment déterminer si une telle distance existe ?

[God's Breath]

La propriété que tu envisages doit imposer aux distances d'être bornologiquement équivalentes, condition qui est peut-être suffisante.

Je me suis contenté de faire une conjecture.

[kadomatsu]

Je ne comprends pas pourquoi tu cites ce message. Où y a-t-il quelque chose qui te chiffone par rapport à ce que j'ai bien pu écrire ?