Theoreme des af

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bonsoir
votre aide est la bienvenue
j ai une fonction continue sur [0.2]et a valeurs dans R telle que f(0)=f(2)on me demande de montrer qu il existe a et b inclue dans[0.2] tels que: b-a=1 et f(b)=f(a) je pecherais pour le thm des a.f mais je doute
merci de me repondre
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[invite57a1e779]

Un théorème des accroissements finis alors qu'il n'y a aucune propriété de dérivabilité, cela me semble suspect.

[221]

donc on ne peut egalement pas utiliser le thm de roll
je n'arrive pas a trouver

[ichigo01]

Salut !

On donne aucun terme de la fonction ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[221]

salut ichigo01 non aucun

[invite93e0873f]

C'est un classique, avoir une fonction continue sur un intervalle et qu'il existe et () tels que et .

L'idée est de définir une nouvelle fonction continue à partir de , disons , de telle sorte qu'on peut à partir de ces deux fonctions faire qui est aussi continue et telle que (Je ne te dis pas quels sont ces deux nouveaux nombres). On utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour dire qu'il existe dans l'intervalle tel que et de cela, en revenant aux fonctions et , on doit en déduire que a et b existent.

Je te laisse réfléchir à ce que peut être g et h.

En fait, tout ceci fonctionne bien si , ce qui n'est pas ton cas nécessairement ici, mais bon, il s'agit d'une difficulté qui se contourne assez bien.

Je donnerai la solution que j'aie plus tard en spoiler.

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g peut etre=f(b)-f(a) non?
help

[invite93e0873f]

Je te propose de faire plutôt le problème un peu plus général (je corrige certaines erreurs que j'ai faites dans mon message précédent en même temps):

Soit une fonction continue telle que . Montrer qu'il existe et de () tels que et .

L'idée intuitive pour résoudre ce problème est de considérer la courbe dans la plan Oxy associée à . Si deux réels et sont tels que , il est possible de dupliquer la courbe et de la translater d'une distance dans un sens ou l'autre et de voir que les deux courbes ainsi obtenues se croisent (soit en , soit en tout dépendant dans quel sens tu as déplacé une des deux courbes) à une hauteur . Le fait ici que (soit le rayon de ) donne une certaine symétrie à ton problème qui facilite la résolution. On peut donc avoir une certaine idée de comment procéder, mais pour être rigoureux il faut y aller avec l'analyse.

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Soit telle que (qui est définie sur ). Il s'agit essentiellement encore de la fonction , mais décalée verticalement de telle sorte que . Considérons ensuite telle que (la fonction translatée horizontalement). L'idée à présent est de s'arranger pour créer une certaine asymétrie entre ces deux fonctions (asymétrie due en partie à la symétrie du problème (la translation d'une valeur moitié celle de la largeur de ) et du fait qu'on cherche pour une raison qui va se justifier plus tard à déplacer le point d'intersection (s'il existe) de et sur l'axe des abscisse).

Considérons donc définie comme . Cette fonction aurait bien pour effet d'amener un point d'intersection entre et sur l'axe des abscisses et inversement, une racine de dénoterait l'existence d'un point d'intersection entre et . Cherchons à montrer qu'il existe une racine. On a et (vérifie). Puisque est continue, par construction (suite de différences et de compositions de fonction continues sur ), on a que est continue sur son domaine. Or, le théorème des valeurs intermédiaires nous dit que pour tout élément de l'image par une fonction continue d'un certain ensemble de départ, il existe un élément de cet ensemble de départ dont l'image par la fonction est . De plus, l'image d'un intervalle fermé par une fonction continue est un intervalle fermé. Ainsi, et donc 0 est un élément de ce qui implique qu'il existe tel que . Ainsi, et donc .

Si , on aurait pu définir et avoir plutôt afin d'obtenir les mêmes propriétés que le précédent, le reste de la démarche étant inchangée.

On voit néanmoins que toute cette démarche tient au fait que . Autrement dit, chercher et tels que est davantage compliqué.

[invite3240c37d]

Même idée, mais en plus simple Supposons par l'absurde que

Comme est continue il s'ensuit que ne change pas de signe, par exemple
On a alors . La contradiction est manifeste ..

[invitea41c27c1]

Voilà un autre point de vu : tu cherches tel que . Il reste alors à voir pourquoi la fonction
s'annule.

(C'est similaire aux idées précédentes, mais je pense que cette formulation est plus claire)