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Theoreme des af



  1. #1
    221

    Arrow Theoreme des af


    ------

    bonsoir
    votre aide est la bienvenue
    j ai une fonction continue sur [0.2]et a valeurs dans R telle que f(0)=f(2)on me demande de montrer qu il existe a et b inclue dans[0.2] tels que: b-a=1 et f(b)=f(a) je pecherais pour le thm des a.f mais je doute
    merci de me repondre

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : Theoreme des af

    Un théorème des accroissements finis alors qu'il n'y a aucune propriété de dérivabilité, cela me semble suspect.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    221

    Re : Theoreme des af

    donc on ne peut egalement pas utiliser le thm de roll
    je n'arrive pas a trouver

  5. #4
    ichigo01

    Re : Theoreme des af

    Salut !

    On donne aucun terme de la fonction ??

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    221

    Re : Theoreme des af

    salut ichigo01 non aucun

  8. #6
    Universus

    Re : Theoreme des af

    C'est un classique, avoir une fonction continue sur un intervalle et qu'il existe et () tels que et .

    L'idée est de définir une nouvelle fonction continue à partir de , disons , de telle sorte qu'on peut à partir de ces deux fonctions faire qui est aussi continue et telle que (Je ne te dis pas quels sont ces deux nouveaux nombres). On utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour dire qu'il existe dans l'intervalle tel que et de cela, en revenant aux fonctions et , on doit en déduire que a et b existent.

    Je te laisse réfléchir à ce que peut être g et h.

    En fait, tout ceci fonctionne bien si , ce qui n'est pas ton cas nécessairement ici, mais bon, il s'agit d'une difficulté qui se contourne assez bien.

    Je donnerai la solution que j'aie plus tard en spoiler.

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  10. #7
    221

    Re : Theoreme des af

    g peut etre=f(b)-f(a) non?
    help

  11. #8
    Universus

    Re : Theoreme des af

    Je te propose de faire plutôt le problème un peu plus général (je corrige certaines erreurs que j'ai faites dans mon message précédent en même temps):

    Soit une fonction continue telle que . Montrer qu'il existe et de () tels que et .

    L'idée intuitive pour résoudre ce problème est de considérer la courbe dans la plan Oxy associée à . Si deux réels et sont tels que , il est possible de dupliquer la courbe et de la translater d'une distance dans un sens ou l'autre et de voir que les deux courbes ainsi obtenues se croisent (soit en , soit en tout dépendant dans quel sens tu as déplacé une des deux courbes) à une hauteur . Le fait ici que (soit le rayon de ) donne une certaine symétrie à ton problème qui facilite la résolution. On peut donc avoir une certaine idée de comment procéder, mais pour être rigoureux il faut y aller avec l'analyse.

     Cliquez pour afficher

  12. #9
    MMu

    Re : Theoreme des af

    Même idée, mais en plus simple Supposons par l'absurde que

    Comme est continue il s'ensuit que ne change pas de signe, par exemple
    On a alors . La contradiction est manifeste ..

  13. #10
    Garnet

    Re : Theoreme des af

    Voilà un autre point de vu : tu cherches tel que . Il reste alors à voir pourquoi la fonction
    s'annule.

    (C'est similaire aux idées précédentes, mais je pense que cette formulation est plus claire)

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