Tractrix et divergence de suite (aucun lien)

[BioBen]

Bonjour,

1/ voilà au cours de ma lecture de livre de Penrose, je suis tombé sur une construction méthématique appelé Tractrix, et j'avoue ne pas vraiment sasir ce que c'est.
Ce que j'en ai compris c'est qu'on considère une sphère. On place notre systeme de coordonée centré au centre de la sphère. On trace les asymptotes maximales (en valeur absolue) à cette sphère, donc on obtient une sorte de cone, dont le sommet principal est le point d'intersection entre l'asymopte et l'axe de x. Mais après je vois aps comment on fait pour "arrondir" tout ca pour obtenir le tractrix... enfin je sais pas si j'ai vraiment compris ce que c'était en fait (j'en avais jamais entendu parler) !

2/ Ensuite, il montre que 1 + x² + x^4 + ... = (1-x²)^-1
Ce qui signifie que si l'on prend x = 2 on obtient que
1 + 2² + 2^4 + ... = -1/3. Là il dit bien que ca montre qu'ne fait c'est un suite divergente puisqe -1/3 < 1 et que l'on ajoute des termes positifs.

Il explique ensuite briêvement plan complexe de Caspar Wessel pour expliquer pourquoi ceci est corret (avec comme pôles pour cette suite -1 et 1), mais je vois pas du tout pourquoi ca fait -1/3 (grr dommage que je puisse pas mettre les schémas : il y a un pic dessiné au niveau de -1/3 masi sans le justifer alors ...) !

Merci d'avance, et désolé si mes questions sont mal formulées mais j'ai une ptite insolation alors
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[Quinto]

Bein si tu remplaces dans (1-x²)^-1, x par 2 ca te donne (1-4)^-1=-1/3
Sauf que bien sur ce résultat est faux puisqu'il n'est vrai que si le disque unité ouvert (ie |x|<1)

Sinon les pôles sont ceux de la fonction x->1/(1-x²) et non pas ceux d'une suite.
A+

[Gwyddon]

Salut Ben,

Je ne te répond que pour la 2 (la 1 je ne sais pas non plus ce qu'est un traxtix.

La série de terme général ne converge ssi |x| < 1. Donc on ne peut appliquer x=2 dans

.

EDIT : bon bah grillé par Quinto, qui explique tout aussi bien sinon mieux

[BioBen]

Bah c'est bizarre parce que si j'ai lu assez attentitivement (je relirais ce soir), en fait il dit que justmeent on trouve -1/3 qui est abherrant étant donné la suite (partant de 1 et sommant des termes positifs), donc on en déduit qu'elle diverge...

Ce que vous dites il le dit aussi dans son bouquin, mais je me souviens très clairement du 1 + 2² + 2^4 + ... = 1 / (1 - 2²)

Et pour ce qui est de son interprétation sur le plan complexe ...une idée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Hmmm... C'est assez bizarre.

Il part d'une formule valable uniquement pour |x| < 1, et il l'applique avec 2 > 1... Logique de trouver des résultats aberrants.

Mais le raisonnement "appliquer une formule hors de son domaine d'application, trouver un résultat aberrant, et en déduire la divergence de la série" est faux.

En effet, si le résultat trouvé avait été +1/3, cela n'aurait pas été choquant... Pourtant, la série diverge vers + infini.

Sinon, pour l'interprétation dans le plan complexe
Je suis perplexe. Matthias, martini, quinto, CB ? Des idées ?

[martini_bird]

Salut,

je n'ai rien compris à la question 1 (asymptote maximale?), mais ce ne serait pas au sujet de la géométrie hyperbolique? Car la courbe baptisée tractrice (in french) engendre par révolution une surface à coubure négative constante, la pseudo-sphère.

Cordialement.

[BioBen]

Let us ask the following question : does the equation that we obtain by putting x=2 in the above expression, namely 1 + 2² ... = -1/3 actually make any sense ?
The great 18th century math. Eular often wrote down equations like this[...]the above equation would be officailay classified "nonsense". Yet, i think that is tis important to apreciate that, in the appropriate sense, Euler really knew what he was doing when he wrote down apparent absurdities of this nature, an that there are senses according to which the above equation must be regarded as "correct"

Je précise juste que ceci se trouve dans le chapitre sur les nombres complexes (d'où l'interprétation dans le plan complexe après).

mais ce ne serait pas au sujet de la géométrie hyperbolique? Car la courbe baptisée tractrice (in french) engendre par révolution une surface à coubure négative

C'est exactement ca (oops j'ai oublié de dire dans la parite 1/ que ca avait un lien avec la pseudo-sphère et la géometrie hyperbolique ...décidemment c'était vraiment pas clair !)
Merci pour el nom en french, j'ai trouvé ca :
http://www.mathcurve.com/courbes2d/t...ractrice.shtml
http://www.mathcurve.com/surfaces/ps...dosphere.shtml
http://www-cabri.imag.fr/abracadabri...ct/Tract4.html
Je lis ...

[Coincoin]

Salut,

Mais le raisonnement "appliquer une formule hors de son domaine d'application, trouver un résultat aberrant, et en déduire la divergence de la série" est faux.

Je ne suis pas d'accord avec toi. C'est un simple raisonnement par l'absurde pour montrer que ça ne converge pas : supposons que ça converge, alors on obtient -1/3, on montre que c'est impossible, donc ça ne converge pas...

En effet, si le résultat trouvé avait été +1/3, cela n'aurait pas été choquant... Pourtant, la série diverge vers + infini.

Là, je suis d'accord avec toi. Les raisonnements par l'inabsurde (je suppose le résultat vrai et je montre que le résultat est vrai), ça a jamais vraiment marché

[BioBen]

si le résultat trouvé avait été +1/3, cela n'aurait pas été choquant...

Euh ...si quand même ..., puisque 1/3 < 1... non ?

[martini_bird]

Au sujet de la question 1, la série de terme général 2ⁿ converge dans le corps des nombres diadiques. Mais je ne vois pas le rapport avec le plan complexe.

[BioBen]

Mais je ne vois pas le rapport avec le plan complexe.

Il remplace les x par des z ...(z=a+ib)
"We are now thinking of our power series as functions of the complex varaible z in the complex plane for which the series converges and those for which it diverges.
Il parle du "circle of convergence" sur le plan complexe.
Il étudie aussi 1 - x² + x^4 - ... = 1 / (1+x²) (avec x=z ensuite).
A coté du schéma du plan complexe il écrit que "In the complex plane, the functions 1/(1-z²) and 1/(1+z²) have the same circle of convergence, there being poles for the former at z = +/- 1 and poles for the latter z = +/- i, all having the same (unit) distance from the origin"

PS : J'ai vite fait trouvé ca meme si c'est aps complet :
http://www.groovyweb.uklinux.net/ind...category=maths

[Coincoin]

Le disque de convergence, c'est le disque sur lequel ta série converge. Cette série a un rayon de convergence de 1, ça veut dire que pour |x|<1 (avec x éventuellement complexe), ta série converge, tandis que pour |x|>1 , ça diverge. Pour |x|=1, on peut rien dire a priori.
Après, ça part dans l'analyse complexe. Un pôle, c'est un point où ta fonction diverge. En analyse complexe, ils ont une grande importance (théorème des résidus, etc...)

Quelle idée de lire des livres compliqués !

[BioBen]

Quelle idée de lire des livres compliqués !

Lol je sais mais bon
1/ c'est les vacances !
2/ je fais ca doucement pour essayer de bien comprendre et approfondir tout ce qu'il raconte d'où mes questions). Je suis pas pressé.

Par contre je sais que ca doit etre galère pour vous de comprendre mes questions, vu que justmeent je les pose parce que j'ai mal compris un point (donc j'essaie de citer pour que ce soit plus clair).

Pour la tractrice, je suis en train de lire les liens, je vous dirai si je comprends pas.
Pour le plan complexe, je pense commencer à comprendre ce qu'il représente, mais bon je vois pas comment il fait pour tracer un truc justmeent sur le disque de convergence et pourquoi il y a comme un pic au niveau de -1/3 (grr je peux aps scanner)... en fait je vois asp trop comment on construit "l'intereiur" du disque de convergence.

Après, ça part dans l'analyse complexe

Oulah il parait que c'est niveau 3ème année ca ...dur dur

[martini_bird]

Pour |x|=1, on peut rien dire a priori.

Si on sait que le rayon de convergence est 1, on peut dire qu'il y a une singularité sur le disque: en d'autres termes, c'est la présence de singularités qui délimite le disque de convergence.

Un pôle, c'est un point où ta fonction diverge.

Pas tout à fait: il y a une subtilité, car les singularités ne sont pas forcément des pôles.

Sinon, l'idée de Penrose est peut-être de parler du prolongement analytique?
La série n'est définie que dans le disque unité ouvert, mais grâce à la formule , on peut prolonger cette fonction dans le plan complexe privé de 1 et -1.

[BioBen]

Pas tout à fait: il y a une subtilité, car les singularités ne sont pas forcément des pôles.

Oui ici c'est un cas particulier our les singularités sont aussi des poles.

Sinon, l'idée de Penrose est peut-être de parler du prolongement analytique?

Je sais pas. son but est je pense de montrer la force des nombres complexes par rapport aux nombres réels, puisqu'il dit aussi "complex numbers supply us with deep insight into the beahvior of power series that are simply not aviable from the consideration of their real-variable structure"

mais bon je vois pas comment il fait pour tracer un truc justmeent sur le disque de convergence et pourquoi il y a comme un pic au niveau de -1/3 (grr je peux aps scanner)... en fait je vois asp trop comment on construit "l'intereiur" du disque de convergence.

Oubliez ca c'est débile j'ai cru que c'était un schéma alors que c'était des fleches 'tordues) pour indiquer les poles de 1/ (1-z²) et 1 / (1+z²).
Oubliez vite !

[BioBen]

on peut prolonger cette fonction dans le plan complexe privé de 1 et -1.

Je ne psen pas qu'il fasse ca.
En fait oublions cette histoire d eplan complexe et revenons plus sur 1 + 2² + 2^4 ... = -1/3. Est ce que le fait de trouver un résultat absurde prouve la divergence ?
Que signifie ce résultat ?

Par exemple si l'on considère 1 - x² + x^4 - ... = 1 / (1 + x²), on obtient
1 - 1 + 1 - 1 ... = 1/1+1² = 1/2
Ca a une signification ? (d'après ce que j'ai dit plus ahut c'était utilisé par Euler ...)

PS : c'est bon j'ai compris pour la tractrice.

[martini_bird]

Dans le corps des réels, la somme (finie ou infinie) de termes positifs est positive: en supposant par l'absurde que la série 1+2²+... converge, tu déduis une contradiction avec cette propriété.

Euler est un des plus grands mathématiciens de tous les temps, mais il ne faut pas oublier qu'au XVIII° siècle, l'analyse était une science jeune dépourvue de cadre rigoureux.

L'égalité 1-1+1-1+...=1/2 est fausse dans le corps des complexes. D'ailleurs je pourrais réarranger les termes de la série ainsi: 1-1+1-1+...=(1+1-1)+(1+1-1)+...=1 et en déduire que 1/2=1.

[BioBen]

en supposant par l'absurde que la série 1+2²+... converge, tu déduis une contradiction avec cette propriété.

Ok donc le raisonnmeent est correct.
Merci.
Lui aussi fait l'éloge d'Euler dans le bouquin, c'est qu'il devait etre assez doué

L'égalité 1-1+1-1+...=1/2 est fausse dans le corps des complexes

C'est à dire ? C'est faux dans les complexes, mais vrai dans les réels ?
On pourrait aussi les réarranger pour qu'ils fassent 0, 1/2 apparait alors comme une "moyenne"... bizarre.

Dans le corps des complexes les poles sont -i et i non ? Ce qui explique que ca diverge ...

[matthias]

Dans le corps des réels, la somme (finie ou infinie) de termes positifs est positive: en supposant par l'absurde que la série 1+2²+... converge, tu déduis une contradiction avec cette propriété.

Ok donc le raisonnmeent est correct.

Mouais, encore faudrait-il montrer que si ça convergeait se serait nécessairement vers 1/(1-x²).
Vous me direz, vu que c'est faux, en supposant ça, on pourrait montrer n'importe quoi

[martini_bird]

Si c'est faux pour les complexes, c'est a fortiori faux pour les réels!

Je précisais dans C, car l'identité est vrai dans le corps des nombres diadiques (qui est un sur-corps des rationnels, mais dont la topologie est différente de celle de C).

1-1+1-1+...=(1+1-1)+(1+1-1)+...=1 et en déduire que 1/2=1.

J'ai écrit une énormité puisque 1+1+... ne converge certainement pas vers 1, désolé.

On pourrait aussi les réarranger pour qu'ils fassent 0, 1/2 apparait alors comme une "moyenne"... bizarre.

On pourrait arranger en effet de sorte que 1-1+1-1+...=(1-1)+(1-1)+...=0. Mais des considérations de moyenne sont à mon avis à bannir ici.

[matthias]

De toute façon ce que j'ai écrit est idiot.
En supposant la convergence, on a:
x²(1+x²+x^4+...) = (1+x²+x^4+...)-1
et on retrouve évidemment, 1/(1-x²)

[martini_bird]

Mouais, encore faudrait-il montrer que si ça convergeait se serait nécessairement vers 1/(1-x²).

Pourquoi? On ne considérait que la série 1+2²+...

D'ailleurs, un argument similaire a été donné il n'y a pas si longtemps pour prouver la divergence de la série harmonique (message #9 de ce fil).

EDIT: croisement.

[invitead065b7f]

Salutations,

J'ai écrit une énormité puisque 1+1+... ne converge certainement pas vers 1, désolé.

On peut quand même arranger les termes pour obtenir le résultat :
1+(-1+1)+(-1+1)+....=1

D'ailleurs une petite remarque sur les réarengement de séries, qui met bien en avant ce que l'on vient de remarquer :
Prenont une série de terme général réel Un, qui ne converge pas absolument, alors par réarengement des termes, on peut faire atteindre n'importe quel réel à la somme des Un.

Etonnant non ?

Le principe de la preuve, si je m'en souvient, est de s'approcher de ce nombre grâce à des termes tous positifs (si la limite l'est évidement), puis de rester proche en combinant les positifs et négatifs. La formalisation est plutôt compliquée (enfin dans mon souvbenir, j'ai dû faire ça l'année dernière).

Pour revenir brièvement que la série des x^2n, le simple fait que le terme général ne tend pas vers 0 montre qu'elle diverge et donc que le rayon de convergence est plus petit que 2. Enfin c'est comme ça que je le vois.


Amicalement
Moma

[martini_bird]

Salut,

Prenont une série de terme général réel Un, qui ne converge pas absolument, alors par réarengement des termes, on peut faire atteindre n'importe quel réel à la somme des Un.

En effet, c'est un résultat dû à Riemann.

Mais je pense qu'il faut une condition supplémentaire, à savoir qu'elle converge pour un certain arrangement (par exemple pour Un=1, je vois mal comment réarranger la série pour qu'elle converge vers ).

Cordialement.

[invitead065b7f]

Evidement, il faut qu'elle converge tout court... . Ou pour un certain arrangement (qui reviendrait en fait à prendre une autre suite qui vonverge tout court).
J'ai oublié de le mentionner, honte sur moi...

Amicalement
Moma

[Quinto]

Comment on appelle ca déjà une série qui converge mais pas absolument?
(question sans intéret)

[matthias]

Comment on appelle ca déjà une série qui converge mais pas absolument?

Ca a un nom ?
Moi j'appelle ça une série qui converge mais pas absolument

[martini_bird]

On trouve dans la littérature les épithètes "semi-convergentes" ou "commutativement convergentes", mais ils ne sont guère usités aujourd'hui.

[Gwyddon]

Ah non, commutativement convergente ce n'est pas le bon mot.

Une série commutativement convergente est une série où l'ordre des termes dans la sommation n'a aucune incidence sur le résultat final. Typiquement, c'est le cas des séries absolument convergentes dans un espace complet.

[matthias]

On trouve dans la littérature les épithètes "semi-convergentes" ou "commutativement convergentes", mais ils ne sont guère usités aujourd'hui.

Je trouve que semi-convergente est compréhensible, mais commutativement convergente ça vient d'où ? Intuitivement je l'aurais associé à absolument convergente, justement à cause des considérations de réarrangements de termes.

[EDIT: croisement]