Produit scalaire de fonctions, séries de fourier

[herrmattoon]

Bonjour,
Je me pose cette question depuis que j'ai (légèrement) étudié les séries de fourier, transformées de fourier ou encore de laplace. Pour chacune d'entre elles on définit une fonction qui forme une base (il me semble) comme p.ex. sin(kwt), cos(kwt), e^-iwt ou e^-st. Sur laquelle on projette la fonction dont on veut la transformée. Il suffit donc de prendre la norme de chacune de ces projections pour connaître l'importance de chacune des composantes... p.ex. a_ksin(kwt) a l'importance a_k... dans la fonction... (?)
Bref, je crois avoir bien saisi l'idée qui se cache derrière tout cela. Corrigez-moi si c'est vulgairement faux!
Mais ce que je voudrais vraiment savoir, c'est : qu'est-ce qui a poussé les mathématiciens à dire que le produit scalaire de deux fonctions était l'intégrale de la première qui multiplie le conjugué complexe de la seconde sur tous les réels??
Si vous pouvez m'éclairer d'une manière un peu plus "ingénieure" que "fondamentaliste" je vous en serais grandement reconnaissant.
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[GrisBleu]

Bonjour

Ta description des choses me semblent correctes.
Par contre, decomposer une fonction periodique en fonction sin et cos est une idee plus vieille que l'introduction de l'espace L2 bien formalise avec son produit scalaire. Je pense que l'approche physique (resoudre un probleme donne avec cette decomposition) a devancer la formalisation rigoureuse.
++

[invite88ef51f0]

Salut,
Pour la définition d'un produit scalaire, il faut voir ce qu'on demande à un produit scalaire. Il faut que ce soit linéaire, symétrique, positif et défini. Il n'y a donc pas tant de façon de construire un nombre à partir de deux fonctions en respectant ces conditions.

Mais il y en a quand même plusieurs. Déjà, tu peux voir que pour les séries de Fourier, on se contente d'intégrer sur une période (ça suffit car si on connaît une période, on connaît tout). Tu peux aussi rajouter un poids. Par exemple, si tu définis ton produit scalaire comme alors tu peux définir une famille de polynômes orthogonaux suivant ce produit scalaire : ce sont les polynômes de Hermite. http://fr.wikipedia.org/wiki/Polynômes_orthogonaux

[herrmattoon]

Salut à tous,
merci à wlad_von_tokyo et à Coincoin pour vos réponses, c'est déjà un peu plus clair à présent.
Bien que je sache que les mathématiques sont une nuée de définitions / descriptions formelles, qu'elles sont toutes issues de l'esprit humain et pas de la nature, je continue inconsciemment à chercher des raisons "naturelles" à ces définitions. (Qui sont entre nous d'une puissance "terrifiante").
P.S. Je ne sais pas comment marquer ce post comme étant "résolu"...

[A voir en vidéo sur Futura]

[herrmattoon]

Voilà déjà quelques années que ce post a été créé...

...J'y reviens parce que je pense avoir la réponse que je recherchais dans le passé. Je pense aussi que ça pourrait en intéresser d'autres!

Ne m'en veuillez pas si je ne fais pas preuve de suffisamment de formalisme, je parle avec le langage correspondant à mon niveau. Les corrections et précisions sont les bienvenues.

Commençons dans le monde numérique :
Un signal échantillonné est formé d'un nombre fini de valeurs. On peut considérer ces valeurs comme un vecteur à N dimensions, N étant le nombre d'échantillons du signal.

Un vecteur peut être représenté dans différentes bases. Les vecteurs qui forment ces bases ont le même nombre de dimensions que le vecteur représentant le signal. On peut passer d'une base à l'autre en projetant le signal sur les vecteurs qui forment la nouvelle base. Il faut aussi que les vecteurs de la base soient orthogonaux entre eux, ce qui veut dire que leur produit scalaire soit nul. Une chance (provoquée), puisque les bases utilisées pour les séries/transformées de Fourier, ondelettes,... le sont!

Aucune perte de donnée en passant d'une base à l'autre. Avec les transformées de Fourier, on efface l'information temporelle, mais on gagne l'information fréquentielle et c'est réversible.

Dans le monde continu :
On prend l'exemple précédent et on fait tendre le nombre de dimensions vers l'infini avec le temps entre les échantillons qui tend vers zéro... Et d'une somme, on passe à une intégrale où "l'on multiplie chaque valeur f(t) du premier vecteur par la valeur correspondante (même t) de l'autre vecteur g(t)" jusqu'à la borne supérieure de l'intégrale, ce qui correspond à un produit scalaire dans le monde continu.

Là j'avoue que sur ce dernier point en particulier, j'ai dû induire quelques attaques cérébrales chez les lecteurs mathématiciens

Voilà, c'est pas très élégant, mais je pense que l'idée qui se cache derrière la définition du produit scalaire de deux fonctions peut être rendue un peu plus abordable intuitivement par cette explication très approximative.

[gg0]

Bonjour Hermatton.

Pour le mathématicien qui construit ses outils mathématiques pas à pas, le produit scalaire apparaît au départ en dimension finie, sous la forme

où les a_i sont tous strictement positifs et les u_i et v_i sont les composantes de u et v dans une base quelconque. C'est la généralisation de la notion de produit scalaire de vecteurs du plan et de l'espace. Et on remarque qu'en choisissant le bon produit scalaire, et les a_i tous égaux à 1, on a immédiatement que la base est orthonormale. Produit scalaire et norme et orthogonalité sont liés entre eux.
Ensuite, on veut généraliser ça en dimension infinie (espaces de fonctions), mais ça ne marche pas, sauf s'il y a une base dénombrable (espaces de suites). Ce qu'on utilise alors n'est pas une base de l'espace vectoriel, mais une base hilbertienne, dénombrable; donc en général une fonction n'est pas combinaison linéaire des éléments de cette base hilbertienne; il faut utiliser des séries, plus des sommes finies.

Tout cela est une rationalisation moderne (XX-ième siècle) de techniques inventées à la fin du XVII-ième et au début du XIX-ième. Idée probablement venue de la théorie des cordes vibrante, mais utilisée clairement la première fois pour la propagation de la chaleur (Fourier).

Cordialement.

[stefjm]

Mais ce que je voudrais vraiment savoir, c'est : qu'est-ce qui a poussé les mathématiciens à dire que le produit scalaire de deux fonctions était l'intégrale de la première qui multiplie le conjugué complexe de la seconde sur tous les réels??
Si vous pouvez m'éclairer d'une manière un peu plus "ingénieure" que "fondamentaliste" je vous en serais grandement reconnaissant.

Un aspect important qui a sans doute beaucoup jouer dans l'invention des séries de Fourier est que la valeur moyenne du produit de deux fonctions sinus vaut soit 0 (fréquences différentes), soit 1/2 (même fréquence).
C'est très physique et ingénieur! (et évidement, cela colle avec le formalisme géométrique à produit scalaire)

Un vecteur peut être représenté dans différentes bases. Les vecteurs qui forment ces bases ont le même nombre de dimensions que le vecteur représentant le signal. On peut passer d'une base à l'autre en projetant le signal sur les vecteurs qui forment la nouvelle base. Il faut aussi que les vecteurs de la base soient orthogonaux entre eux, ce qui veut dire que leur produit scalaire soit nul. Une chance (provoquée), puisque les bases utilisées pour les séries/transformées de Fourier, ondelettes,... le sont!

Aucune perte de donnée en passant d'une base à l'autre. Avec les transformées de Fourier, on efface l'information temporelle, mais on gagne l'information fréquentielle et c'est réversible.

Oui.
Soit X un signal en tant que tel, comme un vecteur sans considération de base ou de projection.
On peut considérer sa projection temporelle x(t) ou sa projection fréquentielle X(f) ou Laplace X(s) ou etc...
Les transformations intégrales sont des changements de base.

[azizovsky]

C'est une façon de changer 'l'univers', une sorte de correspondance , origine ---->image 'codée' ---->origine