Petit probleme de théorie des groupes : orbites de K^2 par Sl_2

[invite270c37bc]

Bonsoir!

je suis coincé dans un exercice d’algèbre.
J'aimerais trouver les orbites de Sl_2 (K) sur l'ev K^2 où K est un corps quelconque.

J'ai fait quelques cas particuliers pour des corps finis (ma prof m'a conseillé ça)
et j'ai trouvé :
dans le cas K = F_2 (le corps fini à 2 éléments), il y en a 3 je crois (mais même là je ne sais pas comment faire pour les trouver... je dois chercher à la main et tester avec toutes les matrices de Sl_2 qui existent ???). Parce que on trouve 4 vecteurs possibles, le 0 qui ne peut être envoyé sur personne, pareil pour le 1,1 et enfin le 0,1 et 1,0 qui eux peuvent être envoyé l'un sur l'autre avec une matrice de permutation.

Dans le cas K = F_3 ; j'arrive plus à savoir ... je crois 4 ou 5 mais je ne suis pas sûr.

Est ce que vous pourriez m'aidez svp à trouver une méthode et au final résoudre l'exercice ? peut être ma recherche n'est même pas dans la bonne direction.

Je vous remercie d'avance !
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[invite9dc7b526]

Tu ne dis pas quelle action tu considères. SL2(K) étant un sous-groupe du groupe des permutations de K tu penses peut-être à l'identité? mais il me semble que cette action est transitive donc la question des orbites ne se pose pas. Donc peux-tu préciser ta question?

[0577]

Bonjour,

il me semble que le sujet concerne SL_2(K), groupe des matrices deux par deux à coefficients dans K et de déterminant 1, avec action linéaire sur K^2.

pareil pour le 1,1

Pourquoi?

Une indication: quelle est l'image du vecteur (1,0) sous l'action d'une matrice deux par deux?

[Resartus]

Bonjour,
La question semble quand même bizarre telle qu'écrite : qui dit orbite dit groupe. L'espace vectoriel le plus général sur un corps est un groupe pour l'addition, mais cela semble sans intérêt ici si on parle bien comme le suppose 0577 de SL2(K).
Et il n'existe pas de "multiplication" interne, sauf corps particuliers.
Bien que la question ne le précise pas, sans doute faut-il se limiter aux corps finis d'ordre premier, à Q et à R, et utiliser comme loi de groupe sur K² la multiplication complexe? (ou, dit autrement, la multiplication polynomiale modulo X²+1)

Si c'est cela, il n'y a pas à prendre en compte le vecteur nul, qui n'appartient pas au groupe multiplicatif...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite270c37bc]

Alors je ne vois pas pourquoi ça n'aurait pas de sens... On prend un vecteur et on le compose naturellement par une matrice...

Pour le vecteru 1,0. Si je le compose par une matrice de SL2 on obtient soit 1,0 soit 0,1 soit 1,1 (avec la matrice avec comme composante par ligne (1,0;1,1). On peut pas obtenir 0,0 pcq le determinant est non nul

[Resartus]

….d'où on peut conclure qu'il n'y a qu'une orbite sur l'EV privé de zero…
Le plus simple pour le montrer étant d'exhiber explicitement la matrice de SL2 qui transforme par exemple (1,0) en tout autre vecteur (a ,b) (sauf 0,0)

[invite270c37bc]

d'accord oui j'ai compris. Merci c'était cette méthode qui me manquait. Merci !