Convergence de la suite n.sin(1/n)

[invitec9750284]

Bonjour et bon matin à tous,

Soit la suite définie pour par .

Je désire montrer proprement que cette suite converge et calculer sa limite.

Mais voilà que cela fait 2h que je tourne en rond pour montrer proprement la convergence à partir du cours.

J'ai essayé de :

• montrer que c'est une suite croissante majorée ou décroissante minorée. Mais impossible de déterminer le signe de .

• d'extraire deux suites adjacentes mais je ne vois pas lesquelles...

• montrer que la série converge. Or , mais cette dernière diverge car
  

Visiblement cette suite a bien une limite car . Donc si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa !!!

Merci d'avance !
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[Médiat]

En posant x = 1/n, x va tendre vers 0 et on doit étudier

qui est égal à


Je vous laisse finir.

[invitec9750284]

Erff j'ai pas pensé à faire le changement de variable et étudier la limite du quotient .

Ainsi cela donne :



Évidemment c'est le résultat escompté. Mais c'est le calcul de la limite qui doit normalement être fait après l'étude de la convergence d'après le prof.

Du coup, je persiste, peut-on montrer d'abord que cette suite converge en utilisant les théorèmes du cours de sup ?

[invite2e5fadca]

Si on ne pense pas au changement de variable, on peut aussi faire un DL de sin(1/n) au voisinage de 0, puisque 1/n tends vers 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6a5f6d49]

Bonjour,

Mais c'est le calcul de la limite qui doit normalement être fait après l'étude de la convergence d'après le prof.

Les questions sont souvent posées dans ce sens là effectivement mais en général il faut comprendre "les" questions comme une seule, si tu as la limite tu as la convergence. Cela suffit à prouver que ça converge. Si la question avait été : déterminer la limite puis montrer qu'elle converge, ça t'aurai paru bizarre non? Mais je peux comprendre que ça te gêne, j'ai mis longtemps à m'y faire aussi^^

Bon maintenant ça doit quand même être possible de montrer la convergence sans passer par la limite (pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué )
Je n'ai pas fait le calcul, mais peut être en essayant de montrer que est convergente avec .
Je répète c'est juste une piste que je n'ai pas exploitée, et dont je ne suis pas sûre qu'elle aboutisse mais qui ne tente rien n'a rien.

Edit: j'avais pas lu entièrement ton premier message....désolée, je vois que tu as déjà essayer cette piste mais tu ne trouve pas un "bon" majorant....je vais essayer de faire le calcul

[invite314eea43]

Visiblement cette suite a bien une limite car .

Salut,
si c'est équivalent à 1 alors ca tend vers 1.

tcho