Systeme d'équations et incertitude

[Tripmania]

Bonjour,

J'ai un système d'équations avec moins d'inconnues que d'équations. Ce système n'a pas de solution exacte. Quelles méthodes existe-t-il pour résoudre le système avec le moins d'erreur possible (quelque chose comme des moindres carrés) et accessoirement en profiter pour calculer une incertitude sur le résultat ?
Et dans un autre cas, si je dispose déjà des incertitudes sur mes coefficients et constantes (différentes pour chaque coeff et constante), comment trouver le résultat en donnant plus de poids aux valeurs qui ont l'incertitude la plus faible ? Et re-accessoirement, comment calculer l'incertitude sur le résultat ? Et même avec une seule inconnue, comment on fait ça ?

Une solution ? Un nom ? Un site ? Un bouquin ?

merci d'avance
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[Tripmania]

1 an après, toujours personne ? Ca m'intéresse toujours...

[invite63e767fa]

Bonjour,

la méthode de régression par les moindres carrés appliquée à une équation (au lieu d'une fonction comme c'est habituellement le cas) a fait l'objet d'une note dans l'article "Régressions coniques, quadriques, etc. " §.5, p.10, http://www.scribd.com/JJacquelin/documents
En s'inspirant de la méthode employée et en l'adaptant à ce problème d'équations multiples, il doit être possible de définir un critère d'optimisation pour répondre au problème.
Néanmoins, la validité de ce critère serait à étudier expérimentalement pour vérifier s'il convient bien en pratique pour traiter tel ou tel problème concret.
Cela pourrait donner quelque chose comme ceci :
Soient N équations :
F1(x1, x2, ..., xk, ...xn)=0
F2(x1, x2, ..., xk, ...xn)=0
...
Fj(x1, x2, ..., xk, ...xn)=0
...
FN(x1, x2, ..., xk, ...xn)=0
Les Fj sont des fonctions données de n variables x1, x2, ..., xk, ...xn
Dans le cas considéré N>n, en général le système n'a pas de solution satisfaisant exactement les N équations. Par conséquent, pour un ensemble de valeurs (x1, x2, ..., xk, ...xn) les fonctions ne sont pas nulles :
F1(x1, x2, ..., xk, ...xn)=a1
F2(x1, x2, ..., xk, ...xn)=a2
...
Fj(x1, x2, ..., xk, ...xn)=aj
...
FN(x1, x2, ..., xk, ...xn)=aN
Le critère d'optimisation pourrait être tel que la somme des carrés de ces écarts S=(a1²+a2²+...+ak²+...+an² ) soit minimum.
On peut donc exprimer S en fonction de x1, x2, ..., xk, ...xn :
S(x1, x2, ..., xk, ...xn) = [F1(x1, x2, ..., xk, ...xn)]²+ ... +[Fk(x1, x2, ..., xk, ...xn)]² +... +[FN(x1, x2, ..., xk, ...xn)]²
Chacune des n dérivées partielles relativement à x1, x2, ..., xk, ...xn respectivement doit être nulle, ce qui donne un système de n équations dont x1, x2, ..., xk, ...xn sont les n inconnues :
dS/dx1 = 0
dS/dx2 = 0
...
dS/dxk = 0
...
dS/dxn = 0
La résolution de ce système, donnera des solutions (x1, x2, ..., xk, ...xn). Le système étant généralement non linéaire, on obtiendra plusieurs solutions constituées chacune d'un ensemble de valeurs (x1, x2, ..., xk, ...xn) et correspondant chacune à un extrémum de S.
Finalement, le calcul numérique des valeurs de S correspondant à chaque extrémum déterminera le plus petit d'entre eux et donc la solution la plus satisfaisante relativement au critère des moindres carrés qui a été prise en considération.

[Tripmania]

Ca n'est pas tout à fait limpide pour moi, je crois que j'ai besoin d'une petite révision. Mais j'ai le sentiment que ça répond tout à fait à ma question.

Merci beaucoup

[A voir en vidéo sur Futura]