Bonsoir, alors voila, depuis quelques jours je bute sur un exercice à propos de bijection; voici l'énoncé:
Montrer que l'application f : N -> N² est une bijection.
(n,p) -> (2^n)*(2*p+1)
Je ne sais pas du tout comment commencer, ce qui me gene c'est qu'il y a 2 inconnues, quelqu'un pourrait m'aiguiller?
Merci et bonne soirée
Bonsoir,
Je crois que tu dois montrer que ce soit à la fois injectif et surjectif.
Regardes, il y a une bonne explication par des schémas.
http://www.mathsisfun.com/sets/injec...bijective.html
Cordialement
Merci pour cette réponse aussi rapide
J'ai bien compris que la bijectivité est vérifiée lorsque l'on a une injection ( vérifiée par l'implication : f(x)=f(x') <=> x=x' ) et une surjection ( quelque soit y, il existe x tel que f(x)=y ). Normalement je me sert de ces 2 techniques pour prouver la surjection et l'injection mais la je sais pas quoi en faire
Merci
Je suppose que ton application va de N^2 dans N et pas l'inverse... En quoi le fait qu'il y ait plusieurs variables est genant ?
Il te suffit de montrer que tout entier peut s'ecrire 2^n(2*p+1) pour un certain n et un certain p et que cette ecriture est unique. Essaie au moins de montrer que c'est possible de mettre n'importe quel entier sous cette forme, ce qui prouvera la surjectivité.
Merci de la réponse, j'ai trouvé comment prouver l'injection:
Soit (n',p')appartenant N² (dsl pour l'erreur d'énoncé).
On pose 2^n(2*p+1)=2^n'(2*p'+1)
d'où (2*p+1)=2^(n'-n)(2*p'+1)
On a ici pour tous n différent de n' le membre de gauche impair et celui de droite pair. Ainsi cette égalité n'a de sens que pour n=n'
Ce qui donne donc: (2*p+1)=(2*p'+1)
D'où f(n,p)=f(n',p') <=> (n,p)=(n',p')
Ainsi, l'injection est prouvée.
Pour la surjectivité, je suis pas sure mais je propose quand meme une réponse:
Soit (n,p) appartenant a N² et y appartenant a N*,
Ainsi quelque soit (n,p) il existe un y tel que: y=(2^n)*(2*p+1)
( car l'expression (2^n)*(2*p+1) et y appartiennent tous les deux à N* quelque soit (n,p) de N²)
Cela prouve bien la surjectivité ?
merci
Oui.Envoyé par Bistoufly
Merci de la réponse, j'ai trouvé comment prouver l'injection:
Soit (n',p')appartenant N² (dsl pour l'erreur d'énoncé
On pose 2^n(2*p+1)=2^n'(2*p'+1)
d'où (2*p+1)=2^(n'-n)(2*p'+1)
On a ici pour tous n différent de n' le membre de gauche impair et celui de droite pair. Ainsi cette égalité n'a de sens que pour n=n'
Ce qui donne donc: (2*p+1)=(2*p'+1)
D'où f(n,p)=f(n',p') <=> (n,p)=(n',p')
Ainsi, l'injection est prouvée.
Non ! La ton raisonnement n'a simplement pas de sens. Tu commences par dire "soit y" et deux lignes plus loin "il existe y". Ensuite tu "montres" juste que (2^n) (2p+1) est un entier que tu appelles y ce qui n'avance pas beaucoup. Le commentaire entre parenthese est inutile.Pour la surjectivité, je suis pas sure mais je propose quand meme une réponse:
Soit (n,p) appartenant a N² et y appartenant a N*,
Ainsi quelque soit (n,p) il existe un y tel que: y=(2^n)*(2*p+1)
( car l'expression (2^n)*(2*p+1) et y appartiennent tous les deux à N* quelque soit (n,p) de N²)
Cela prouve bien la surjectivité ?
merci
Ce qu'il faut faire c'est le contraire : partir d'un entier N et montrer qu'il y a un antecedent, cad trouver n et p tels que N=(2^n)(2p+1), donc N est donné, fixé. Pour ca il suffit de divisier N par 2 autant de fois que c'est possible, en gros.
