Hello,
j'essaie de trouver une bijection entre 2 ensembles, mais je n'y arrive plus vraiment (y a un temps où je savais le faire =) ).
Soit A et B deux ensembles quelconque (j'assume qu'ils sont de tailles quelconques, donc possiblement infini et pas forcément comptable), je dois prouver que il y a une bijection entre A -> P(B) et P(A x B). A -> P(B) dénotant l'ensemble des fonctions (totales) de A vers P(B), P pour le power set (ensemble des parties).
Je demande pas vraiment une solution toute faite, mais plutôt une piste parce que là je vois pas trop. Voilà en gros comment j'ai raisonné informellement: A -> P(B) est un ensemble qui contient des ensembles de |A| couples dont les premiers éléments sont les différents éléments de A, P(A x B) c'est un ensemble qui contient des ensembles de 0 à |A| x |B| couples. Il est clair qu'ils ne sont pas égaux. Si ils sont finis c'est assez faciles, suffit de montrer qu'ils sont de la même tailles, mais j'essaie le cas plus général avec n'importe quel cardinal. Je ne vois que 2 approches, essayer de construire la bijection et la prouver en la montrant injective et surjective, ou construire 2 injections l'une de A -> P(B) dans P(A x B) et l'autre dans l'autre sens. Le problème c'est que je suis bloqué au moment où j'essaie de définir une fonction et j'imagine que même si j'y arrivais j'aurai de la peine à prouver l'injectivité ou/et surjectivité.
Est-ce la bonne approche malgré tout? Si oui, quelques indices sur comment la construire? Si non, comment dois-je procéder alors?
Merci d'avance!
-----