comparaison de séries divergentes, question élémentaire

[inviteb7283ac9]

Bonjour,

Si
a-t-on le droit de'écrire que meme si les séries divergent ?
en d'autres termes peut-on comparer des séries divergentes ?

(la réponse me semble etre "oui", mais j'aimerai en avoir le coeur net)

Merci pour cet éclaircissement
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[invite14e03d2a]

Si les séries divergent, et ne sont pas des nombres!
Eventuellement, dans certains cas, ces notations peuvent désigner "les nombres" et dans et on peut les comparer mais cela a peu d'intérêt.

Et on peut très bien avoir pour tout n, et divergentes, et pourtant . Par exemple, considère et .

[inviteb7283ac9]

Merci pour ta réponse, je vais donner le contexte de la question afin d'avoir plus de précisions...
Soit un espace mesuré et une fonction mesurable
Pour , on pose


on suppose
et

on pourra commencer par remarquer que
sommer ces inégalités sur puis intégrer sur

Dans un tel contexte peut-on sommer les inégalités ?

[invite14e03d2a]

D'accord,

dans ton contexte, c'est un peu plus simple que le cas général puisque tu sommes des quantités positives.
Pour une série à termes positifs (stp), tu n'as que de cas possibles: soit elle converge soit elle diverge et dans ce cas, sa limite est l'infini.
Donc pour deux stp divergentes, peu importe ce qui se passe au niveau des termes généraux, on a toujours égalité de la somme (puisque celle-ci est ).

Ce qui est intéressant dans ton cas, c'est qu'en sommant ton inégalité, tu as une inégalité entre les sommes partielles (puisque ce sont des sommes finies) et donc tu peux utiliser les théorèmes de comparaison pour montrer qu'une série converge si et seulement l'autre converge.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb7283ac9]

D'accord, dans ton contexte, c'est un peu plus simple que le cas général puisque tu sommes des quantités positives.
Pour une série à termes positifs (stp), tu n'as que de cas possibles: soit elle converge soit elle diverge et dans ce cas, sa limite est l'infini.
Donc pour deux stp divergentes, peu importe ce qui se passe au niveau des termes généraux, on a toujours égalité de la somme (puisque celle-ci est ).

égalité des sommes tu veux dire ?
En résumé si alors (avec égalité si les deux divergent)[correct ?]

Ce qui est intéressant dans ton cas, c'est qu'en sommant ton inégalité, tu as une inégalité entre les sommes partielles (puisque ce sont des sommes finies) et donc tu peux utiliser les théorèmes de comparaison pour montrer qu'une série converge si et seulement l'autre converge.

Des sommes finies ?? Je ne vois pas à quoi tu fais allusion (j'ai pourtant répondu intégralement à la question, et je n'ai pas eu à faire à des sommes finies...) Mais cela est peut etre secondaire

[invite14e03d2a]

égalité des sommes tu veux dire ?

Oui, égalité des sommes, désolé.

En résumé si alors (avec égalité si les deux divergent)[correct ?]

C'est vrai dans . Mon histoire de sommes partielles, c'était pour justifier cette affirmation (puisque d'après ton premier message, je pensais que tu ne connaissais le résultat que pour les suites convergentes)

[inviteb7283ac9]

D'accord,

dans ton contexte, c'est un peu plus simple que le cas général puisque tu sommes des quantités positives.
Pour une série à termes positifs (stp), tu n'as que de cas possibles: soit elle converge soit elle diverge et dans ce cas, sa limite est l'infini.
Donc pour deux stp divergentes, peu importe ce qui se passe au niveau des termes généraux, on a toujours égalité des sommes (puisque celles-ci est ).

égalité des sommes tu veux dire ?
En résumé si alors (avec égalité si les deux divergent)[correct ?]

C'est vrai dans

Désolé mais tout n'est pas encore clair dans mon esprit :
tu dis que dans le cas présent je suis en droit de sommer, mais que j'ai le droit de sommer que si je suis dans
Donc j'en déduis que je suis dans ...mais je ne vois pas vraiment pourquoi, certes f va dans , mais je ne vois pas le lien...
Je te remercie de bien vouloir à nouveau me répondre

[invite14e03d2a]

Se placer dans , c'est juste pour que des expressions du type "" aient un sens.

On peut aussi formuler ce que tu as dit de la manière suivante: Soit deux suites à valeurs dans telles que . Alors:
1) Si les séries de termes généraux et sont toutes deux convergentes, on a . (ce que tu savais d'après ton premier message)
2) Si diverge, alors diverge.

A priori, dans , dans le cas 2, tu ne peux pas écrire (ça n'a pas de sens puisque l'ordre usuel est défini sur seulement).
C'est (entre autres) pour cela qu'on construit pour que des expressions du style "" aient vraiment du sens.

[inviteb7283ac9]

Ok, je te remercie, je crois que tout est clair désormais.
Merci