Irrationalité

[invitec1855b44]

Bonjour ,
Je souhaiterais savoir comment on démontre l'irrationalité d'un nombre (Pour j'y arrive mais pour ou , je ne vois vraiment pas... )
Je ne pense pas qu'il y'ait de méthode générale mais peut-être une qui revient souvent.
Merci d'avance pour vos réponses !
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[invite14e03d2a]

Pour e, tu peux considérer les suites et . Ces deux suites sont adjacentes, donc de même limite, et cette limite est e.

Ensuite, si e est rationnel, je peux l'écrire comme un quotient , p et q entiers.
Mais alors on aurait
or et sont deux entiers consécutifs, donc p est un entier strictement compris entre deux entiers consécutifs. C'est absurde donc e est irrationnel.

[invitec1855b44]

Merci pour ta réponse mais je ne comprends pourquoi si était rationnel on pourrait l'écrire comme le quotient d'un entier sur une factorielle.

[invite14e03d2a]

Parce que c'est vrai pour tous les rationnels! Je n'ai pas dit par contre que p et q (ou que p et q!) étaient premiers entre eux (ce qui a de grandes chances d'être faux en général).

Pour le démontrer, on écrit un rationnel r sous la forme (avec ). Je peux multiplier numérateur et dénominateur par (q-1)! et j'obtiens avec .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1855b44]

OK merci je comprends mieux.