Règle de d'Alembert : démonstration

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Bonjour , en lisant un cours sur les séries je rencontre un problème avec la démonstration de la règle de d'Alembert pour les séries positives.
J'ai compris dans le cas où la limite du rapport de d'Alembert est strictement supérieure à 1 mais je bloque dans le cas où elle est strictement inférieure.
J'ai commencé par écrire la définition de avec :

Puis du fait que je déduis que l'on peut choisir un tel que
Puis je pose la série de terme général
Ce que je ne comprends pas , c'est pourquoi la convergence de la série (impliquée par le fait que ) , entraîne celle de la série

Si vous pouviez m'aider , je vous en serais reconnaissant.
Merci d'avance pour vos réponses
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[pat7111]

J'ai commencé par écrire la définition de avec :

Ok, on en deduit que
Comme, converge, converge et converge

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Ok merci beaucoup je comprends mieux