bijection de [0;1[ dans R

[invitea67e7256]

Bonjour,
Je cherche une bijection de [0;1[ dans R
(la fonction prend une seule fois toutes les valeurs de R entre 0 et 1 avec un nombre finie en 0)

Elle ne dois pas etre forcément continue

Merci
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[invite9a322bed]

Par exemple :

Sur

et sur ;

J'ai pas vérifié, mais en tout cas l'idée est vraiment autour dans la fonction tan !

[Médiat]

Soit f la fonction [0 ; 1[ dans ]1; oo[définie par :
Si x est irrationnel : f(x) = 1/x
Si x = p/q avec p!=0 et p!=1 : f(x) = q/p
Si x = 1/p : f(x) = p+1
et f(0) = 2
Ensuite il suffit de prendre n'importe quelle bijection de ]1; oo[ dans IR (cette partie est très très facile) et de la composer avec la précédente pour avoir une fonction qui va bien.

[invitea0db811c]

Bonjour,

Sinon une construction direct, et c'est assez moche :

Considérer

Et définir f par :

sur par f(x) = x

Puis pour k supérieur ou égale à 1 :

Sur

et sur


Bon, dit comme ça c'est laid, mais en faisant un dessin c'est tout de suite plus clair.

PS : Pour ma construction, c'est modulo les erreurs de calculs/frappe.

[A voir en vidéo sur Futura]