bijection de IR^n dans IR

[invited37a86e7]

Je raisonne dans [0,1] plutôt que dans IR (le résultat est le même vu que ces deux ensembles son isomorphes).

J'ai un exemple de bijection de [0,1]^2 dans [0,1] qui consiste à concatener une à une les décimales de x1 et x2 (en considérant leur écriture en base 10)
ex:
x1 = 0,23500...
x2 = 0,94502...

f(x1,x2)=0,2934550002...

Q1: Auriez vous un exemple plus "universel" c'est à dire sans recourir à l'écriture en base 10 ?

A partir de la construction précédante, je peux facilement construire une bijection de [0,1]^n dans [0,1]

Q2: si n est l'infini ? pourriez-vous nommer une telle bijection ?

merci.
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[martini_bird]

Salut,

quand tu parles d'isomorphisme de [0, 1] dans IR , c'est très flou! Ces ensembles sont équipotents mais topologiquement, algèbriquement, etc. pas d'iso à ma connaissance...

Q1 : le procédé se généralise à n'importe quelle base sans pb.

Q2 : n est l'infini : à nouveau très flou : par exemple, tu parles de ou de ?

Cordialement.

[GuYem]

Salut.

Je voudrais pas être chiant mais je vois plusieurs problèmes !

Comment définis tu l'image de (x,y) si l'écriture décimale de x ne s'arrête jamais ?

Si n est infini, il me semble que le cardinal de R^n sera plus grand que celui de R, mais je dis ptêtre des conneries.

Je n'ai jamais vraiment vu de bijection de R^2 dans R.

EDIT : grillé par un martini en forme, et qui n'a pas tilté sur le coup de la définition avec une infinité de décimale, donc ça ne doit pas être un problème ...

[matthias]

EDIT : grillé par un martini en forme, et qui n'a pas tilté sur le coup de la définition avec une infinité de décimale, donc ça ne doit pas être un problème ...

C'est peut-être le mot "concaténer" qui t'a géné. En fait le procédé consiste à entrecroiser les décimales.
Par exemple (0,000...;0,1111111....) -> 0,010101010....
Par contre il faut éviter le piège de la non unicité de l'écriture décimale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

C'est peut-être le mot "concaténer" qui t'a géné. En fait le procédé consiste à entrecroiser les décimales.
Par exemple (0,000...;0,1111111....) -> 0,010101010....
Par contre il faut éviter le piège de la non unicité de l'écriture décimale.

Ah trés bien, c'est le mot qui m'a embété en effet, même pas lu l'exemple que j'avais

[invite35452583]

Bonsoir,
désolé mais cette "bijection" n'en est pas une : ce n'est même pas une application.
Deux façons de le voir :
a) sur l'écriture
Pour x1=0,49999....=0,500000 et x2=0,5555555... quelle est l'image?
0,45959595... ou 0,55050505505 ??!
b) topologique
si f était bien définie elle serait continue, [0,1] étant compact f serait un homémorphisme. Or [0,1] privé d'un point autre que 0 ou 1 n'est pas connexe alors que [0,1]² privé d'un quelconque point est connexe.

Il est très difficile d'exhiber une bijection entre R et R². Il est plus facile de le faire avec l'ensemble de Cantor ou de manière équivalente avec un corps p-adique. La décompoosition est unique pour ces ensembles.
Sinon, est de la puissance du continue :

Cordialement

[matthias]

Bonsoir,
désolé mais cette "bijection" n'en est pas une : ce n'est même pas une application.

C'est pour ça que je parlais du piège de la non unicité de l'écriture décimale. Mais il est possible de bidouiller pour s'en sortir.

[invite35452583]

C'est pour ça que je parlais du piège de la non unicité de l'écriture décimale. Mais il est possible de bidouiller pour s'en sortir.

Je ne crois pas qu'on puisse "bidouiller" cette embryon d'application. Ma remarque topologique était là pour ça : il est illusoire d'essayer de réparer avec une petite "modif" : si on ne fait qu'une petite modif on garde l'aspect "continu" qui est contradictoire ou alors on fait une "grosse" (mais alors très grosse) modif.
L'idée n'est pas mauvaise mais en quelque sorte incompatible avec la structure de R. Par contre elle marche très bien sur des espaces totalement discontinus tels que celui de Cantor.

Cordialement

[matthias]

Je l'ai déjà fait il y a longtemps, c'est faisable. Et oui, il me semble qu'il faut pas mal de modifs à faire et que ce n'est pas très beau. Par contre l'argument topologique ne tient pas vraiment car on a vite fait de perdre la continuité.

[invite35452583]

Autant pour moi, on peut modifier légèrement pour la rendre bien définie. Je suis fatigué, moi.

Cordialement

[invite986312212]

et personne ne cite la bien connue courbe de Peano?
http://www.mathcurve.com/fractals/peano/peano.shtml

[invited37a86e7]

Suite à ces bonnes remarques, je reformule:

Soit E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Soit F l'ensemble des suites infinies sur E
Soit G l'ensemble des suites infinies sur E telles que tous les éléments u(n) valent 9 à partir d'un certain rang n.

Soit H=F-G

Soit I=]0,1[


On peut facilement établir:
1/ une bijection de H^2 dans H (en entrelaçant deux suites)
2/ un bijection de H dans I (c'est là ou je fais intervenir l'écriture des décimales en base 10, mais en veillant à ce qu'il n'y est pas d'ambigüité sur l'écriture en base 10 d'un éléments de I)

Donc en passant par mon ensemble H, j'ai bien établi une bijection entre I^2 et I

Sachant que je suis aussi capable d'établir une bijection entre I et IR (les réels), je peux établir une bijection entre un IR espace vectoriel de dimendion n et un IR espace vectoriel de dimension n-1.
Ma question est alors, qu'en est-il d'un espace vectoriel de dimension infini ?
Il me semble que la technique ne marche pas dans le cas infini. Mais est-on capable de construire une telle bijection et à quoi ça peut ressembler ?

[invited37a86e7]

Pour que ça fonctionne complètement il faut aussi retirer de H la suite composée d'une infinité de 0.

[matthias]

2/ un bijection de H dans I (c'est là ou je fais intervenir l'écriture des décimales en base 10, mais en veillant à ce qu'il n'y est pas d'ambigüité sur l'écriture en base 10 d'un éléments de I)

Quel serait l'antécédent de 10/11 ?

[invited37a86e7]

Quel serait l'antécédent de 10/11 ?

C'est clair que ça foire gravement là !!!!
Ca parait tellement évident en plus

[matthias]

Je ne me souviens plus des bidouilles que j'avais employé, mais je me souviens que c'était long et ennuyeux.
Le principe de base était à peu près le même que pour créer une bijection de R dans R*. On part d'une fonction qui marche presque (f(x)=x) et on modifie les cas génants (f(0)=0). On pose f(0) = 1, donc on reporte le problème en 1, etc. Au final f(x)=x si x n'appartient pas à N, f(x)=x+1 si x appartient à N.
Sauf que là, c'est franchement plus pénible.
Mais je m'étais peut-être compliqué inutilement la tâche.

Les solutions d'homotopie et d'ambrosio sont de toute façon plus élégantes.

[invited37a86e7]

ok merci. je vais regarder plus en details (encore faut-il savoir ce qu'est un corps p-adique )
en fait j'ai la réponse essentielle à ma question: il est donc juste de dire qu'il existe une bijection entre IR^IN et IR, ce qui est assez déroutant pour un esprit comme le mien

[invite986312212]

il y a des ensembles apparemment beaucoup plus gros que R^2 qui peuvent être mis en bijection avec R. Il me semble que c'est le cas de l'ensemble des fonctions réelles continues bornées. Par contre pour construire une bijection dans les "gros" ensembles, on risque de se heurter à une impossibilité théorique, du genre que c'est équivalent à l'hypothèse du continu ou à l'axiome du choix.

[inviteac422289]

Bonsoir,

si l'on adopte une démarche moins constructiviste et si l'on accepte l'axiome du choix, il est possible de démontrer un résultat plus général :

Si E est un ensemble infini alors il est en bijection avec chacun des E^n pour n supérieur ou égal à 1.

Il suffit alors de démontrer ce résultat pour n=2.

La démonstration fait intervenir le lemme de Zorn (axiome du choix) et l'ensemble ordonné inductif suivant :

{(X,f) ; X partie de E, f bijection de E sur E^2 }

Il admet un élément (F,f) maximal et on montre que la partie F est de même cardinal que E.

En espérant que cela aidera...

Bon courage

[invitedb2255b0]

Sachant que je suis aussi capable d'établir une bijection entre I et IR (les réels), je peux établir une bijection entre un IR espace vectoriel de dimendion n et un IR espace vectoriel de dimension n-1.

Hey ho, doucement.

D'une part les choses ne sont pas assez formelles pour moi. Ya une bijection ? Tres bien, alors dit moi laquelle explicitement et formellement.

Ensuite, tu vas trop vite. Comment peut tu passer comme çà d'une bijection ensembliste à un isomorphisme de R-ev ? Il faut quand même travailler un peu non ?

Ensuite, une propriété des espace vectoriel dit que:
Si E, F deux K-ev de dim fini m, n entier st positif

alors si m != n, alors il ne peux exister de bijection entre E et F.

[inviteac422289]

La démonstration de l'existence de cette bijection est formelle mais elle s'appuie entièrement sur l'axiome du choix auquel il est fait appel 2 ou 3 fois dans la démonstration (sous la forme "lemme de Zorn" et sous la forme "théorème de trichotomie").

Je ne peux donc pas sans hypothèse supplémentaire sur l'ensemble E exhiber explicitement (de manière constructiviste) la bijection obtenue.

Je n'ai considéré aucune structure additionnelle sur l'ensemble E donc la bijection dont je parle n'est effectivement à priori rien d'autre qu'un isomorphisme de cardinal. Je n'avais pas compris que nous cherchions une application linéaire...

Dans le cas de R en particulier, il est peut-être (sans doute) possible de construire explicitement une telle bijection (avec ou sans l'axiome du choix, en tout cas l'axiome du choix affirme l'existence de cette bijection...).

Enfin, R^n et R^(n!) étant selon moi en bijection (dans ZFC), je ne comprends pas la dernière propriété citée.

[inviteac422289]

J'ai réfléchi au cas de R.

Je considère [0,1[. Dans cet ensemble, chaque élément a un unique développement décimal PROPRE.

Je reprends la fonction de "concaténation" du premier message, qui est bien définie sur [0,1[^2 (on ne considère que les développements propres et on écrit ces développements sous forme de séries). L'image d'un élément de [0,1[^2 est alors un développements propres d'éléments de [0,1[.

De plus, comme le développement propre d'un élément de [0,1[ est unique, la fonction f est injective.

On a ainsi construit une injection de [0,1[^2 dans [0,1[ et il en existe une évidente de [0,1[ dans [0,1[^2.

Or, d'après le théorème de Bernstein (qui ne nécessite pas l'axiome du choix), il existe alors une bijection de [0,1[^2 sur [0,1[.

P.S : Encore une fois, je n'ai pas vraiment construit explicitement une bijection, j'ai construit 2 injections. De plus, je n'ai pas utilisé l'axiome du choix. Par contre, si il s'agit de construire une application linéaire ou autre, je suis clairement à côté du problème.

[inviteac422289]

1/ une bijection de H^2 dans H (en entrelaçant deux suites)

2/ un bijection de H dans I

En fait, c'est juste une injection de H^2 dans H mais avec Bernstein, cela suffit.

Sachant que je suis aussi capable d'établir une bijection entre I et IR (les réels), je peux établir une bijection entre un IR espace vectoriel de dimendion n et un IR espace vectoriel de dimension n-1.

J'ai card(R^2)=card(I^2)=card(I)=ca rd(R). Puis par récurrence, pour tout n, on a card(R^n)=card(R).

[inviteac422289]

par contre je ne vois pas pourquoi cette application serait continues

et je ne comprends pas non plus comment toute cette réflexion permet d'aboutir
card(R^N)=card(R) où N ensemble des entiers naturels.

Comment passer des suites de longueur n aux suites générales?

[invitedb2255b0]

Ok ok, toussa çà me vas, je ne connais pas tous ces theoreme, mais je te fais confience, et je comprend le principe. C'est l'histoire des espace vectoriel de metacarambar qui m'as fait ticker, surtout la dernière (cité dans mon message) qui est totalement fausse (cf: Propriété que j'ai énoncé).

Si l'on reviens à des considération purement ensembliste, il n'y a aucun soucis.

En revanche je suis sur que le cardinal de R^R est BEAUCOUP plus gros que celuis de R. R^R peut etre munit d'une struct d'ev et est alors de dimension SUPER MEGA HYPER infini on, ca dépasse bien de loin le "continue", c'est pour çà que j'ai des doute sur l'ensembles des suite réelles qui ait le même cardinal que R. Je demanderais à mon prof lundi.

[Médiat]

En revanche je suis sur que le cardinal de R^R est BEAUCOUP plus gros que celuis de R.

Pour la suite, je suppose "avec axiome du choix" pour que la notion de cardinal soit bien définie.

Le cardinal de , c'est . Avec HGC, cela donne , le successeur de , ce n'est donc pas "beaucoup" plus gros que , mais "à peine" plus gros (c'est juste le successeur)

j'ai des doute sur l'ensembles des suite réelles qui ait le même cardinal que R. Je demanderais à mon prof lundi.

Les suites réelles sont les applications de dans , c'est à dire dont le cardinal est : , c'est à dire le cardinal de .