n-cycles dans Sn

[invitee75a2d43]

Bonjour, j´aimerais savoir si on peut dire que toute puissance d´un n-cycle dans le groupe symétrique S_n est un n-cycle. Je pense que oui car d´une part ça m´arrangerait, d´autre part je ne vois pas comment il en serait autrement, deux arguments on ne peut moins scientifiques, mais j´ai du mal à prouver la chose.

merci d´avance

Christophe
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[invitec540ebb9]

nice nombre de post ^^
repond pas surtout ça va le changer ^^

[invite899aa2b3]

Bonjour,
si tu entends par -cycle un cycle qui a exactement éléments distincts alors je crois que ça ne marche pas. On considère et le -cycle . Sa puissance deuxième est l'identité qui n'est pas un -cycle.

[invitee75a2d43]

nice nombre de post ^^
repond pas surtout ça va le changer ^^

rien compris

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

Bonjour,
si tu entends par -cycle un cycle qui a exactement éléments distincts alors je crois que ça ne marche pas. On considère et le -cycle . Sa puissance deuxième est l'identité qui n'est pas un -cycle.

Oui tu as raison, mais alors si on prend une puissance k du n-cycle de Sn avec k dans ]0,n[.

[invitec540ebb9]

tavé posté 666 messages ct stylé maintenant 668 c nul

[invite899aa2b3]

Oui tu as raison, mais alors si on prend une puissance k du n-cycle de Sn avec k dans ]0,n[.

Dans ce cas on note le cycle en question.

Pour tout on a .
Ça devrait t'aider, à condition que je ne dise pas de bêtises.

[invitebe0cd90e]

Salut Christophe,

Il faut voir qu'un n-cycle c engendre par definition un (sous)-groupe cyclique d'ordre n. Dans ce cas, pour une puissance k-ieme de c (autrement dit : pour un element de ce sous groupe), "etre un n-cycle" est la meme chose que "etre generateur de ce sous groupe".

Or tu sais bien que si n n'est pas premier, il existe des elements du groupe cyclique d'ordre n qui ne sont pas générateur. Si tu veux une analogie, "etre un n-cycle" c'est exactement comme "etre une racine primitive n-ieme de l'unité". Il existe des racines n-ieme qui ne sont pas primitives, du moins si n n'est pas premier. (et donc primitif, generateur, n-cycle, c'est tout la meme chose puisque c'est "le" groupe cyclique d'ordre n qu'il y a derriere)

Par consequent, tsi tu prends n non premier, d un diviseur propre de n, et c un n cycle, alors c^d ne sera pas un n-cycle puisqu'il sera d'ordre n/d, exemple :

gap> a:=(1,2,3,4,5,6);
(1,2,3,4,5,6)
gap> a^2;
(1,3,5)(2,4,6)

a est un 6-cycle, et a^2 est d'ordre 6/2=3.

[invitee75a2d43]

Merci Jobhertz, effectivement, depuis j´ai trouvé des contre-exemple
Par exemple (1,2,3,4)² = (1,3)(2,4). C´était si simple, donc j´ai écrit des âneries...

Christophe

[invitebe0cd90e]

Oui, du coup plus que des contres exemples, je pense qu'il faut retenir que c'est vraiment intimement lié a cet histoire de "tout element du groupe cyclique d'ordre n n'est pas forcement generateur"