Convergence normale d'une série de fonction

[invite341bf20d]

Bonsoir , j'ai quelques questions sur la convergence normale des séries de fonctions. Dans une question d'un exercice on m'a donné une suite de fonction U_n(x) et on m'a demandé de montrer que sa série converge simplement, je l'ai fait, de montrer que sa série converge normalement sur un intervalle [a,+infinie[ avec a>0 , je l'ai fait aussi , mais ensuite on me demande si elle est convergente normalement sur [0,+infini[. J'ai pris le cas ou x=0 car le cas ou a >0 a été traiter et j'ai essayé de voir si en x=0 la série était normalement convergente . Est ce que cette démarche est bonne ?

Pour montrer que la convergence n'était pas normal en x=0 , j'ai minoré |U_n(0)| par une série numérique strictement positif mais divergente alors j'en ai déduit que |U_n(0)| est divergente et donc que la série n'était pas normalement convergente en x=0. Est ce que cette démarche est bonne aussi ?

"C'est à la fin de l'exercice qu'on me demande la convergence uniforme donc j'ai jugé inutile d'utiliser la contraposé".

Si mes démarches sont fausses , pourriez-vous me dire comment démontrer la non-convergence normale sans passer par la convergence uniforme, absolue et simple . Merci
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[invite899aa2b3]

Salut,
la convergence normale sur un ensemble consiste à regarder la convergence de la série de terme général .
Ici, si c'est qui pose problème (par exemple le est atteint en ) tu peux conclure à la non convergence normale sur .
Pour la convergence uniforme on ne peut rien dire la nous faut la .fonction

[invite341bf20d]

Je ne comprends pas ton raisonnement , est ce que tu pourrais etre un peu plus explicite et est ce que ma démarche est fausse ???

[invitec1ddcf27]

Bonjour,


Comme l'a dit guirdav plus haut, la convergence normale n'est pas une notion ponctuelle. Cela n'a pas de sens de dire qu'une série converge normalement, ou non, au point zéro.
En analyse, c'est très profond de comprendre la différence entre des propriétés ponctuelles et globales.
Ce que tu as montré, c'est que ta série ne converge pas absolument au point zéro. En revanche, je ne suis pas d'accord avec guirdav ici : il ne peut y avoir de convergence uniforme sur [0, infty[ sinon on aurait convergence simple en zéro, ce qui n'est pas le cas.

Finalement, on a

(i) convergence normale, donc uniforme, absolue, simple sur tout intervalle [a , infty[ avec a> 0. En particulier, la somme de la série est une fonction continue sur ]0, infty[ (j'imagine que les u_n sont continues...). Cela puisque la continuité est une propriété locale, et donc, par un théorème clair, il y continuité sur

(ii) Il n'y a pas convergence uniforme, ni normale sur le fermé [0,infty[ (car il n'y a même pas de converge simple en zéro)

[A voir en vidéo sur Futura]