Approximation racine de 2

[invite9f94b45b]

Bonjour,
Je sais que l'approximation de racine de 2 es un sujet classique, mais je n'ai rien trouvé avec cette méthode. Mon exercice consiste en fait étudier la suite définie par :
convergeant vers

(Au passage, si vous connaissez le nom de cette méthode, il pourrait m'aider pour le reste de l'exercice)

J'ai répondu aux questions me demandant de vérifier que est solution de , que pour tout n, appartient à [0,1] et que pour tout n :

puis de déduire que

Il faut ensuite déduire que , ce que je n'arrive pas à faire.

J'ai ensuite prouvé que pour tout n, est un rationnel et calculé ses valeurs pour n allant de 1 à 5

Il faut ensuite montrer que et sont respectivement croissante et décroissante (l'exercice propose de s'appuyer sur le sens de variation de ), mais comme je n'ai jamais été à l'aise avec les suites, je ne sais pas trop comment faire.

enfin, il faut déduire de tout ça un encadrement d'amplitude inférieure à 0.001 de ...

Si vous pouviez me donner quelques astuces, quelques idées qui pourraient m'aider ...

Merci d'avance.

PS: les inégalités sont des inégalités larges, mais je ne sais pas comment les faire en LATEX.
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[Médiat]

Latex x \leq y donne .

Il faut ensuite montrer que et sont respectivement croissante et décroissante (l'exercice propose de s'appuyer sur le sens de variation de ), mais comme je n'ai jamais été à l'aise avec les suites, je ne sais pas trop comment faire.

Une récurrence marche très bien en utilisant que est décroissante, c'est à dire que