probabilités : VAR absolument continues

[inviteb6527590]

Bonjour,
Nous venons d'aborder en cours les différentes lois usuelles des VAR AC.
J'aimerai avoir un peu d'aide pour les tous premiers exercices que nous avons à traiter (qui sont donc relativement faciles) sur ce sujet. Pouvez vous m'aider s'il vous plait?
Pour les deux, je suis bloquée parce que je n'arrive pas à démarrer pour trouver la loi : comment a-t-on la probabilité et la densité?
merci d'avance

exercice 1
X suit une loi exponentielle
Y=partie entière de X
Z=X-Y
loi, espérance,variance de Y et Z
sont elles indépendantes?

exercice 2 :
X suit une loi exponentielle
Y=X²+X
Z=X²-X
loi, espérance et variance de Y et de Z
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[Armen92]

Bonjour,
Nous venons d'aborder en cours les différentes lois usuelles des VAR AC.
J'aimerai avoir un peu d'aide pour les tous premiers exercices que nous avons à traiter (qui sont donc relativement faciles) sur ce sujet. Pouvez vous m'aider s'il vous plait?
Pour les deux, je suis bloquée parce que je n'arrive pas à démarrer pour trouver la loi : comment a-t-on la probabilité et la densité?
merci d'avance

exercice 1
X suit une loi exponentielle
Y=partie entière de X
Z=X-Y
loi, espérance,variance de Y et Z
sont elles indépendantes?

exercice 2 :
X suit une loi exponentielle
Y=X²+X
Z=X²-X
loi, espérance et variance de Y et de Z

Je devine que ce que vous appelez "loi" est en fait la densité de probabilité pour une VAAC, et la suite discrète des probabilités pour une VAD.
Si tel est le cas :
Exo 1)
prend la valeur entière si est compris entre et ; d'où :

où est la loi exponentielle. Après, ça roule tout seul.
Exo 2)
Avec , pas de souci puisque la fonction est monotone (croissante).
Avec , il faut réfléchir un peu plus..

[inviteb6527590]

Je devine que ce que vous appelez "loi" est en fait la densité de probabilité pour une VAAC, et la suite discrète des probabilités pour une VAD.
Si tel est le cas :
Exo 1)
prend la valeur entière si est compris entre et ; d'où :

où est la loi exponentielle. Après, ça roule tout seul.
Exo 2)
Avec , pas de souci puisque la fonction est monotone (croissante).
Avec , il faut réfléchir un peu plus..

qu'est ce que vous entendez par " est la loi exponentielle"? parce qu'en cours on n'a vu que la fonction de répartition et la densité associées à X(suivant une loi exponentielle). Je ne vois pas comment à partir de ces données on obtient
merci

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

en général, on note la loi d'une v.a. , avec .

Si admet une densité , on a .

On en arrive à écrire (notation infinitésimale)

Au passage, on a pour tout ,

Ici, on a :

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armen92]

qu'est ce que vous entendez par " est la loi exponentielle"? parce qu'en cours on n'a vu que la fonction de répartition et la densité associées à X(suivant une loi exponentielle). Je ne vois pas comment à partir de ces données on obtient
merci

qu'est ce que vous entendez par " est la loi exponentielle"? parce qu'en cours on n'a vu que la fonction de répartition et la densité associées à X(suivant une loi exponentielle). Je ne vois pas comment à partir de ces données on obtient
merci

J'ai cru comprendre que vous manipulez une densité de type exponentiel, ce que j'ai noté , et que je précise :
, .
Dans le langage élémentaire : est alors la probabilité de trouver à près.
Si est une application monotone, la densité de probabilité de Y, P_Y(y), est telle que :