Suites et séries

[invite155bb5e3]

Soit pour tout n appartenant à N U_n>0 et a_n>0 tel que :

U_n+1=U_n+a_n/U_n

Montrer que (Un)_{n appartenant N} converge si et seulement si "Somme"a_n converge.

("Somme" représente le symbole d'une somme de série).

J'ai réussi à démontrer que la suite U_n est croissante mais après je ne sais pas comment m'y prendre...

Merci d'avance pour votre aide !
-----

[invite155bb5e3]

Syouplait !

[Garf]

Eh, on n'est pas censés répondre dans l'heure ! Un peu de patience, que diable !

Sachant que est croissante, sa convergence (dans ) est équivalente au fait qu'elle soit majorée. Je propose donc :
* Suppose que est majorée. Montre que converge (un raisonnement par l'absurde me semble adapté).
* Suppose que converge. Montre que est majorée.

[invite155bb5e3]

Oups désolé c'est vrai tu as raison je suis un peu impatient.
Merci bien à toi !
En fait c'est justement ça que je n'arrive pas à démontrer...
Tu as une idée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Salut,

De mon côté, comment j'ai procédé, c'est d'utiliser le critère de Cauchy qui dit que toute suite réelle converge si et seulement si elle est une suite de Cauchy. Il suffit dans ce cas de comparer les suites et .

Je rappelle ce qu'est une suite de Cauchy :

On suppose que converge, le critère de Cauchy donnant une certaine information sur cette suite. Comme l'a mentionné Garf, cette suite étant croissante, le fait qu'elle converge implique qu'il existe un réel supérieur à tous les termes de la suite. L'existence de cette borne supérieure et la croissance de la suite des sont utiles à déterminer si la suite des sommes partielles est de Cauchy.

 Cliquez pour afficher

Convergence des :





La suite des sommes partielles est donc de Cauchy et elle est convergente. Donc la série converge.

On suppose que converge, le critère de Cauchy donnant une certaine information sur cette suite. Ne considérant que le fait que la suite des est croissante, on peut montrer que cette suite est de Cauchy.

 Cliquez pour afficher

Convergence des (ou de la série) :





La suite des est de Cauchy et est donc convergente.

[Garf]

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué...

* Supposons que converge.
Pour tout entier naturel , on a :

Une (très, très) bête récurrence donne :
.

* Supposons que soit majorée, et que ne converge pas. Soit un majorant de . De la même façon, on obtient :

Une contradiction à la clé.

[Universus]

Excellent! C'est effectivement plus simple!

Pourquoi faire plus compliquer? Principalement parce que je n'ai pas cherché la démonstration la plus simple, ni la plus élégante et que c'est celle qui m'est venue spontanément (ce qui la rend déjà d'une certaine simplicité). Néanmoins apprendre à penser en terme de suites de Cauchy pour le problème général de la détermination de la convergence d'une suite me semble suffisamment important pour en parler.

Il y a une aussi une beauté dans le fait d'une diversité des approches pour résoudre un problème.

[invite155bb5e3]

Merci les gars vous êtes vraiment cool ! a+

[invite155bb5e3]

En fait j'ai du mal à comprendre ta démonstration Garf...

[invite155bb5e3]

Quelqu'un peut-il m'expliquer svp ?

[Universus]

Salut,

* Supposons que converge.
Pour tout entier naturel , on a :

Une (très, très) bête récurrence donne :
.

Pour détailler un peu. On a que . La suite est néanmoins croissante et donc on peut utiliser le plus petit terme de la suite (soit le premier, ici ) pour borner le n+1e terme de la suite de la façon suivante :



L'aspect intéressant ici, c'est qu'on peut faire apparaître en bornant dans cette inégalité de la même façon (i.e. ), puis le qui apparaît, etc. C'est là la récurrence. On aboutit finalement à


La dernière inégalité provenant du fait que les sont tous positifs. Ainsi, sous l'hypothèse que la série des converge, on voit qu'on a trouvé une borne supérieure à tous les termes de la suite des . Une suite réelle monotone et bornée est convergente. Donc la suite des est convergente, étant monotone croissante et bornée supérieurement.

* Supposons que soit majorée, et que ne converge pas. Soit un majorant de . De la même façon, on obtient :

Une contradiction à la clé.

etc.

On aboutit à . Ainsi, quelque soit n, . Les étant tous positifs, la suite des est croissante et on voit qu'elle est bornée. Elle est donc convergente ce qui, par définition, implique que la série des converge. Remarque néanmoins qu'ici j'ai choisi la borne pour qu'elle soit constante, ce qui rend le constat de la bornitude peut-être un peu plus explicite, mais il aurait suffit de borner les par une expression contenant et cela aurait suffit, sachant par hypothèse que les sont bornés.

[invite155bb5e3]

Merci à toi c'est cool ! a+