Loi binomiale

[invite4f80dcbf]

Bonsoir,

Soient deux compartiments notés 1 et 2, où se répartissent a molécules, numérotées 1,2,...,a
À chaque instant, une molécule est tirée au hasard et changée de compartiment.
X_n est le nombre de molécules dans le premier compartiment à l'instant n.

Soit X_n, une chaîne de Markov, dont la matrice de transition P est donc :


En supposant X₀ de loi binomiale B(a,1/2), on nous demande de déterminer la loi de X₁.
Il s'avère alors que la loi de X₁ est la même loi binomiale B(a,1/2), mais qu'en déduit-on ?

Je vous remercie
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[invite4f80dcbf]

Bonjour,

Pouvez-vous simplement m'indiquer si une telle chaîne vous semble périodique, et pourquoi ?

Elle le serait mais je ne vois pas comment elle peut être périodique alors que les possibilités de passage, d'un état à l'autre, sont a priori infinies.

Le compartiment 1 peut contenir 2, puis 3, puis 2, puis 3, puis 4, puis 5, puis 4 molécules... tout comme il pourrait en contenir 1, puis 2, puis 1, puis 2, puis 3, puis 4... ?

Je vous remercie

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

Tu as :
- suit la loi ,
- Pour tout n, la loi de sachant est donnée par la matrice ,
- suit aussi la loi .

Quelle est la loi de ? De ? De ?

Tu en déduis une (la ?) loi ... de la chaîne .

[invite4f80dcbf]

"Loi stationnaire"... toutefois, je suppose qu'il faille le justifier par récurrence pour le généraliser, non ?

peux-tu m'aider pour déterminer la période de cette chaîne qui me semble apériodique ?

Merci bcp

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

"Loi stationnaire"... toutefois, je suppose qu'il faille le justifier par récurrence pour le généraliser, non ?

Oui... mais, est-elle unique ?
Pour la démonstration, oui, une jolie rédaction par récurrence... sinon c'est immédiat avec ce que j'ai écrit.

peux-tu m'aider pour déterminer la période de cette chaîne qui me semble apériodique ?

Ah... Il me semble plutôt qu'elle est de période 2.
Pour revenir en 1 partant de 1 :
1 puis 2 puis 1 (2 mouvements)
1 puis 2 puis 3 puis 2 puis 1 (4 mouvements)
1 puis 2 puis 3 puis 4 puis 3 puis 2 puis 1 (6 mouvements)
and so on... Le PGCD est 2.

Partant d'un point qui n'est pas une extrêmité.
puis puis ou puis puis (2 mouvements)
puis puis (si possible) puis puis (idem avec des +) (4 mouvements)
et ainsi de suite. Le PGCD est 2.

[invite4f80dcbf]

Merci.

À quoi correspond ce PGCD ? Au PGCD du "plus grand nombre de mouvements" et de celui "du plus petit nombre" ? Pourquoi indiquerait-il la période ?

Je pensais qu'une chaîne périodique était une chaîne qui, au bout de k coups, revenait obligatoirement à une situation déterminée au tour précédent (à l'image de ce qui se passe avec les fonctions périodiques).

Je ne parviens pas, à avec ta réponse, à faire tout à fait le lien.

Merci beaucoup!

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

sans définition précise de la période d'une chaîne, il est normal que tu n'arrives pas au résultat...

La période d'un élément est le PGCD de l'ensemble des entiers non nuls tels que la proba de revenir en partant de en mouvements est non-nulle :


Si la chaîne est récurrente, tous les éléments ont même période et on peut donc parler de période de la chaîne de Markov :

[invite4f80dcbf]

Merci pour ta réponse. J'ai compris!

Peux-tu simplement m'indiquer à quoi correspond ":" dans ta formule de PGCD ? Il signifie "jusqu'à" ?

[je n'ai jamais vu cette notation]

[inviteaeeb6d8b]

Re,

(A fixé), ce qu'on note est l'ensemble des entiers strictement positifs tels que est strictement positif. La période de est le PGCD de cet ensemble.