Application differentiable

[invite252213ee]

Bonsoir, bonsoir

Voilà, j'ai un petit soucis et un coup de main me serais le bien venu .

Voici l'enoncé:
Soit E un espace vectoriel réel muni du produit scalaire et de la norme associé: || x ||² = < x , x >.
Soit u un endomorphisme continu de E que l'on suppose symetrique, i.e, < u(x) , y > = < x, u(y) > pour tout x, y de E.

Montrer que l'application f: x |-> < u(x) , x > (x appartient à E) est differentiable sur E et calculer sa differentielle.


Bien, donc je pars de la définition d'une application différentiable.
Il faut donc que je montre que:
f(x+h) = f(x) + Df(h) + || h ||Epsilon(h)
avec lim || h ||Epsilon(h) = 0 quand h tend vers 0.

bien donc cela fait f(x +h)= < u(x + h) , x + h >
= <u(x),x> + <u(x),h> +<u(h),x> + <u(h),h>
= f(x) + <u(x),h> +<u(h),x> + <u(h),h>

l'application qui a h associe <u(x),h> +<u(h),x> est une application lineaire continue (cauchy -schwarz le montre).

Il me reste a montrer que <u(h),h> correspond a || h ||Epsilon(h)
et c'est là le HIC.
Quelqu'un a une idee????
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[invite57a1e779]

Bonsoir,

Une remarque : comme est symétrique, on peut simplifier en , ce qui simplifie la vie pour le coup de l'application linéaire continue.

Encore Cauchy-Schwarz, et le fait que est continue donc lipshitzienne : , ce qui devrait te permettre de conclure.

[invite252213ee]

Ah mais bien sur, je fais cauchy schwarz pour montrer que que 2 <u(x),h> est contiune et je ne pense pas pas à le faire pour <u(h),h>.
Merci bcp en tout cas