Bonjour,
une petite question qui doit être très simple à résoudre mais je n'arrive pas à trouver l'argument qui tue.
On a un difféo local f et on trouve un inverse à droite g. La question est de savoir si g est aussi un inverse à gauche de f.
Merci d'avance.
Salut
Je rapelle que d'après l'axiome du choix toute fonction surjective admet un inverse à droite. La réciproque est évidente, si f admet un inverse à droite g alors
f(g(x))=x
donc x a pour antécédent g(x) ce qui veut bien dire que f est surjective. Si f admettait g pour inverse à gauche (et même de façon plus générale si elle admettait un inverse à gauche) alors elle serait injective. Puisque si
f(x1)=f(x2) alors g(f(x1))=g(f(x2)) et donc x1=x2.
Si ton résultat était vrai avec les seules hypothèses que tu donnes cela voudrait dire que tout difféomorphisme local surjectif est injectif. Je te propose de considérer
(x1,x2)->(exp(x1)cos(x2),exp(x1)sin(x2 ))
qui est un diffeomorphisme local de R2 dans R2 puisqu'il est differentiable et de differentielle qui ne s'annule pas (je te laisse faire le calcul), il est facile de voir qu'il est surjectif mais pas injectif.
Ok, merci de la réponse, mais en fait si je comprends bien ta réponse est globale. Je ne cherche que des inverses locaux.
En fait pour être un peut plus précis le cas qui m'intéresse est celui de l'exponentielle de matrices qui réalise un difféo local entre O et I; et dont on sait que le log est un inverse local à gauche. Je cherche donc une propriété générale qui me permet de dire que c'est aussi un inverse local à gauche ou un contre exemple.
Dans ce cas la c'est facile, c'est un difféo local donc il est localement inversible
et si
