Fonctions et dérivées

[invitea8b8e1ae]

Bonjour,

Je tiens tout d'abord à vous prévenir que les maths c'est pas mon fort et que vous risquez de trouver mes questions bêtes

Alors voilà j'ai tout un DM sur les dérivées et l'un des exercices consiste à étudier la dérivabilité en 0 de fonction.

Soit la fonction f définie par :
f(x) = xsin1/x si x différent de 0
et f(0) = 1

Pour étudier la dérivabilité en 0 je cherche à comparer la limite de f'(0+) et celle de f'(0-) n'est-ce pas ?
Voici donc ce que j'ai fait :

Pour tout x différent de 0, [f(x)-f(0))]/x = [xsin1/x - 1]/x
Si on pose X = 1/x, [xsin1/x - 1]/x devient (sinX/X)-X
or si x -> 0, X-> l'infini et je tombe sur une forme indéterminée...

Que faire pour me sortir de là ? Y a t-il une méthode plus rapide pour étudier la dérivabilité ?

Merci d'avance de vos réponses
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[invite899aa2b3]

Salut,
ici la fonction est impaire donc s'il y a limite à gauche il y a limite à droite.
Pour les étudier je crois que tu as fait une erreur de calcul : on doit regarder et tu dois être en mesure la déterminer.

[invitea8b8e1ae]

Merci pour ta correction.

Le problème c'est que je ne sais pas du tout comment faire pour calculer des limites quand ya des sin, cos ou tan... (honte à moi). C'est pour sa que sa m'arrangeai bien de tomber sur une limite usuelle

[invite899aa2b3]

Est-ce que l'égalité t'aide?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea8b8e1ae]

Haa ba oui !
Je trouve donc une lim0+=lim0-=0
donc la fonction est dérivable en 0.
N'est-ce pas ?

[Tryss]

Hum, est ce que tu es sur de ton énoncé?

Parce que chez moi ta fonction



n'est pas continue en 0

En effet, la limite de f(x) en 0 est 0 (car le sinus est borné)

De là, fonction pas continue => Inexistence de la dérivée

[invitea8b8e1ae]

Oui oui mon énoncé est bien celui là...

[Tryss]

Donc ta fonction n'est pas dérivable en 0 car elle n'est pas continue en 0.

diverge quand h tend vers 0

[invitea8b8e1ae]

Ok, pas continue en 0 donc pas dérivable en 0

[invitea8b8e1ae]

Heuu objection !
Je comprend pas pourquoi elle est pas continue. Pour moi, pour qu'une fonction soit continue en 0 il faut que la limite a droite en 0 soit égale à la limite a gauche en 0.
Or pour moi ces deux limites sont égales. En effet
lim f = 0
x->0-
lim f = 0
x->0+
(on prend la formule de f définie pour tout x différent de 0)

Je comprend pas

[Tryss]

Pour que f soit continue en 0, il faut que la limite a gauche soit égale a la limite a droite ET à la valeur de la fonction en ce point.

Si tu avais f(0) = 0, la oui ta fonction serrait continue, mais ici f(0)=1 donc pas continue (d'où ma question sur ton énoncé)

[invitea8b8e1ae]

Tu est sûr de sa ?
Escuse moi de mettre ta parole en doute mais c'est que j'ai là sou les yeux un TD qui a été corrigé ou sur le même principe on cherchai a étudier dans un premier lieu la continuité en 1 de la fonction g définie par
2x-3 si x < ou égal a 1
et x²-4x+2 si x > 1

Les limites a droite et a gauche était égales à -1 et on en avait déduit que la fonction était continue...
Et pourtant -1 est différent de 1...

[Tryss]

Oui, je suis sur de ça

Dans ton exemple c'est bon, parce que , ta fonction étant définie en 2 parties.

Reviens a l'idée intuitive de continuité et tu comprendra tout de suite pourquoi si tu as un point tout seul en dehors du reste de ta courbe, l'ensemble n'est pas continu

[invitea8b8e1ae]

Haa oui d'accord j'avais mal compris. Donc c'est fonction est bien discontinue en 0 et donc pas dérivable en 0.
Désormais je regarde si je peu appliquer ce que je viens de comprendre sur le 2ème exemple de l'exercice...

[invitea8b8e1ae]

Alors la deuxième fonction est :
g(x)=x²sin1/x si x>0
et g(x)=0 si x< ou égal a 0
Je trouve donc que cette fonction est continue [lim a droite en 0 = lim a gauche en 0 = g(0)].
Je calcule donc la limite de la dérivée a droite et a gauche :
Pour tout x>0, [g(x)-g(0)]/x = [x²sin1/x]/x = xsin1/x
et lim xsin1/x = 0
x->0+
Pour tout x<0, [g(x)-g(0)]/x = Forme indéterminée (0/x)

Que faire ?

[Tryss]

lim 0/x n'est pas une forme indéterminée, puisque pour tout x différent de 0, 0/x vaut exactement 0. Quand tu as quelque chose qui vaut 0 tout le temps, ca simplifie beaucoup les choses

[invitea8b8e1ae]

Roo ba oui, que je suis bête !
Mon premier exercice est enfin fini, merci pour ton aide précieuse.
Le reste ce n'est que des calculs de limite et dérivées avec sin, cos et tan. Mais je ne sais pas comment m'y prendre, ma professeur m'a parlé d'encadrement, mais j'ai du mal a imaginé...
Tu pourrai me donner un exemple avec la limite en pi/3 de :
g(x) = sin(3x)/(1-2cosx)
Histoire que je comprenne et essai d'appliquer la technique aux autres questions ?

Merci d'avance de ta sympathie