Fonctions (dérivées...)

[invite7094fe3d]

Bonsoir,

J'aurais besoin d'un petit peu d'aide sur un DM que j'ai à faire.
J'ai, je pense, réussi le début mais après je suis bloqué :

Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle que f(0) = 0 et f'(x) = 4/(1+x²).

1) Justifier que f est strictement croissante sur R :

Comme la dérivée est toujours positive, f est strictement croissante sur R.

2) Soit g la fonction définié sur R par g(x) = f(x) + f(-x).

a) Calculer g'(x) en fonction de x :

g'(x) = f'(x) + f'(-x) = 8/(1+x²).

a) Calculer g(0) et en déduire la justification de la conjecture 3b) (celle ci disait qu'elle semble impaire) :

g(0) = 0.

3) Soit h la fonction définie sur ]0; +inf[ par h(x) = f(x) + f(1/x).

a) Calculer h'(x) en fonction de x :

h'(x) = (4x²+4)/(x²+1)

b) Montrer que pour tout réel x de ]0; +inf[, h(x) = 2 f(1) :

h(x) = 2*((4x²+4)/(2x²+2))
Mais je ne vois pas comment montrer que f(1) = (4x²+4)/(2x²+2)

c) Justifier que limite quand x tend vers +inf de f(x) = 2 f(1). Interpréter graphiquement ce résultat.

4) T est la fonction définie sur ]-2PI; 2PI[ par T(x) = f(tan(x/4))-x.

a) Montrer que T est la fonction nulle sur ]-2PI; 2PI[ :

b) En déduire la valeur de f(1) :

5) Dresser le tableau de variations complet de f.

Merci beaucoup !!!!
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

Est-ce normal que h'(x) = 4 ? (ce qu'on obtient en simplifiant l'expression que tu obtiens)

En fait, ce n'est pas h'(x)=2f(x) mais bien h'(x) = 2f(1) et f(1) vaut ...

Duke.

[invite7094fe3d]

Bonsoir,

Bien c'est ce que je trouve.
Mais dans la partie qu'on a faite avant, on a dit que f(1) = PI.
Donc là ça ne m'arrangerait pas que 2 f(1) = 4.
Mais en fait je ne vois pas trop ....

[invite7094fe3d]

Oubliez les 3 dernières lignes de mon message précédent =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7094fe3d]

Ah nn !!
Je ne trouve vraiment pas

[invite7094fe3d]

Je n'avais pas vu que vous aviez edité votre message !
Désolé pour le multipost ! Donc f(1) = 2 ?
Cela n'a pas l'air de marcher car il semble qu'on ait admis dans une partie précédente que f(1) = 3.14

De plus, c'est dans le 4 b) que l'on me demande de déduire la valeur f(1).

[Duke Alchemist]

Re-

Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle que f(0) = 0 et f'(x) = 4/(1+x²).
1) Justifier que f est strictement croissante sur R :
Comme la dérivée est toujours positive, f est strictement croissante sur R.
2) Soit g la fonction définié sur R par g(x) = f(x) + f(-x).
a) Calculer g'(x) en fonction de x :
g'(x) = f'(x) + f'(-x) = 8/(1+x²).
a) Calculer g(0) et en déduire la justification de la conjecture 3b) (celle ci disait qu'elle semble impaire) :
g(0) = 0.

Comment montres-tu qu'elle est impaire ?

3) Soit h la fonction définie sur ]0; +inf[ par h(x) = f(x) + f(1/x).
a) Calculer h'(x) en fonction de x :
h'(x) = (4x²+4)/(x²+1)

Je confirme, cela fait bien 4, n'est-ce pas ?

b) Montrer que pour tout réel x de ]0; +inf[, h(x) = 2 f(1) :
h(x) = 2*((4x²+4)/(2x²+2))
Mais je ne vois pas comment montrer que f(1) = (4x²+4)/(2x²+2)

Pour x=1, c'est évident h(1) = f(1)+f(1/1) = 2f(1)
Par contre, pour tout x... ...

c) Justifier que limite quand x tend vers +inf de f(x) = 2 f(1). Interpréter graphiquement ce résultat.

limf(x) = lim h(x) - lim f(1/x) = ... (d'après ce qui précède). => Asymptote

4) T est la fonction définie sur ]-2PI; 2PI[ par T(x) = f(tan(x/4))-x.
a) Montrer que T est la fonction nulle sur ]-2PI; 2PI[ :
b) En déduire la valeur de f(1) :
5) Dresser le tableau de variations complet de f.

Là, je suis tout autant perdu que toi...

Désolé de ne pas pouvoir t'aider davantage.

Duke.