Fonctions (dérivées...)
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Fonctions (dérivées...)



  1. #1
    invite7094fe3d

    Fonctions (dérivées...)


    ------

    Bonsoir,

    J'aurais besoin d'un petit peu d'aide sur un DM que j'ai à faire.
    J'ai, je pense, réussi le début mais après je suis bloqué :

    Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle que f(0) = 0 et f'(x) = 4/(1+x²).

    1) Justifier que f est strictement croissante sur R :

    Comme la dérivée est toujours positive, f est strictement croissante sur R.

    2) Soit g la fonction définié sur R par g(x) = f(x) + f(-x).

    a) Calculer g'(x) en fonction de x :

    g'(x) = f'(x) + f'(-x) = 8/(1+x²).

    a) Calculer g(0) et en déduire la justification de la conjecture 3b) (celle ci disait qu'elle semble impaire) :

    g(0) = 0.

    3) Soit h la fonction définie sur ]0; +inf[ par h(x) = f(x) + f(1/x).

    a) Calculer h'(x) en fonction de x :

    h'(x) = (4x²+4)/(x²+1)

    b) Montrer que pour tout réel x de ]0; +inf[, h(x) = 2 f(1) :

    h(x) = 2*((4x²+4)/(2x²+2))
    Mais je ne vois pas comment montrer que f(1) = (4x²+4)/(2x²+2)

    c) Justifier que limite quand x tend vers +inf de f(x) = 2 f(1). Interpréter graphiquement ce résultat.

    4) T est la fonction définie sur ]-2PI; 2PI[ par T(x) = f(tan(x/4))-x.

    a) Montrer que T est la fonction nulle sur ]-2PI; 2PI[ :

    b) En déduire la valeur de f(1) :

    5) Dresser le tableau de variations complet de f.

    Merci beaucoup !!!!

    -----

  2. #2
    Duke Alchemist

    Re : Fonctions (dérivées...)

    Bonjour.

    Est-ce normal que h'(x) = 4 ? (ce qu'on obtient en simplifiant l'expression que tu obtiens)

    En fait, ce n'est pas h'(x)=2f(x) mais bien h'(x) = 2f(1) et f(1) vaut ...

    Duke.

  3. #3
    invite7094fe3d

    Re : Fonctions (dérivées...)

    Bonsoir,

    Bien c'est ce que je trouve.
    Mais dans la partie qu'on a faite avant, on a dit que f(1) = PI.
    Donc là ça ne m'arrangerait pas que 2 f(1) = 4.
    Mais en fait je ne vois pas trop ....

  4. #4
    invite7094fe3d

    Re : Fonctions (dérivées...)

    Oubliez les 3 dernières lignes de mon message précédent =)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite7094fe3d

    Re : Fonctions (dérivées...)

    Ah nn !!
    Je ne trouve vraiment pas

  7. #6
    invite7094fe3d

    Re : Fonctions (dérivées...)

    Je n'avais pas vu que vous aviez edité votre message !
    Désolé pour le multipost ! Donc f(1) = 2 ?
    Cela n'a pas l'air de marcher car il semble qu'on ait admis dans une partie précédente que f(1) = 3.14

    De plus, c'est dans le 4 b) que l'on me demande de déduire la valeur f(1).

  8. #7
    Duke Alchemist

    Re : Fonctions (dérivées...)

    Re-
    Citation Envoyé par Cannot Voir le message
    Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle que f(0) = 0 et f'(x) = 4/(1+x²).
    1) Justifier que f est strictement croissante sur R :
    Comme la dérivée est toujours positive, f est strictement croissante sur R.
    2) Soit g la fonction définié sur R par g(x) = f(x) + f(-x).
    a) Calculer g'(x) en fonction de x :
    g'(x) = f'(x) + f'(-x) = 8/(1+x²).
    a) Calculer g(0) et en déduire la justification de la conjecture 3b) (celle ci disait qu'elle semble impaire) :
    g(0) = 0.
    Comment montres-tu qu'elle est impaire ?
    3) Soit h la fonction définie sur ]0; +inf[ par h(x) = f(x) + f(1/x).
    a) Calculer h'(x) en fonction de x :
    h'(x) = (4x²+4)/(x²+1)
    Je confirme, cela fait bien 4, n'est-ce pas ?
    b) Montrer que pour tout réel x de ]0; +inf[, h(x) = 2 f(1) :
    h(x) = 2*((4x²+4)/(2x²+2))
    Mais je ne vois pas comment montrer que f(1) = (4x²+4)/(2x²+2)
    Pour x=1, c'est évident h(1) = f(1)+f(1/1) = 2f(1)
    Par contre, pour tout x... ...
    c) Justifier que limite quand x tend vers +inf de f(x) = 2 f(1). Interpréter graphiquement ce résultat.
    limf(x) = lim h(x) - lim f(1/x) = ... (d'après ce qui précède). => Asymptote
    4) T est la fonction définie sur ]-2PI; 2PI[ par T(x) = f(tan(x/4))-x.
    a) Montrer que T est la fonction nulle sur ]-2PI; 2PI[ :
    b) En déduire la valeur de f(1) :
    5) Dresser le tableau de variations complet de f.
    Là, je suis tout autant perdu que toi...

    Désolé de ne pas pouvoir t'aider davantage.

    Duke.

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