La dérivation et la récurrence

[invite5858781a]

Bonsoir. Je bloque sur l'exercice suivant :
En partant de la relation et à l'aide d'une récurrence forte prouvez-que est positive ou nulle pour tout entier n sur l'intervalle .

Je pose .On a est vraie par la relation rappelée. ?
Il n'y a que le cas n+1 à faire, mais je ne m'en sors pas.



Cependant, dans cette notation, on a affaire à un carré et non une dérivée seconde. Donc je ne peux utiliser l'hypothèse de récurrence.
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[invite1e1a1a86]

(u²)'=2u'u
(u²)''=2(u'u)'=2(u''u+u'^2)
...

(on peut voir ça comme la dérivée de u*u et utiliser Leibniz)

une récurrence forte permet de conclure

[invite5858781a]

Merci. En ce qui concerne la fonction sur ]0,1[, on me demande de vérifier la relation , puis de raisonner de la même manière.
Donc pareil, récurrence forte, l'initialisation ne pose pas de problème, il n'y a que le cas n+1 à faire :


ok.
implique :

J'ai avec et

Comme , et si , je trouve :

Donc .

Mais je n'arrive pas à me convaincre que , ainsi que .

Y'a-t-il une formule de Leibniz ?!?

[thepasboss]

Bonjour,

Sinon tu peux démontrer à moindre frais et par récurrence que pour tout n>=1 comme somme de produits entre des puissances de f et des polynômes à coefficients entiers positifs. D'où immédiatement le résultat. (La rédaction rigoureuse de ce résultat peut par contre être assez lourde)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1e1a1a86]

je comprend pas, tu fais une démo par récurrence non? donc par hypothèse est positif

tu remarques que tu as besoin aussi du rang n-1, pas de problème, récurrence double
si P(n-1) et P(n) vraie alors => P(n+1) vraie

et tu regardes les cas particuliers n=0 et n=1 pour l'initialisation.

je suis pas sur d'avoir compris ton problème

[invite5858781a]

Rédaction rigoureuse justement ...

Pour SchliesseB :
même chose que pour la tangente, est la fonction f élevée à une puissance trois ! Et non la dérivée troisième ...

Donc reprenons votre démonstration, je dois considérer la dérivée de !

[invite1e1a1a86]

ah oui, v est pas f, désolé

ben oui alors comme la tangente, exactement pareil

[invite5858781a]

Oui, mais Leibniz c'est le produit de deux fonctions ! C'est bien ça qui me bloque

Il existe une Leibniz pour le produit de trois fonctions ? Cela doit être horrible !

[thepasboss]

Tu peux faire avec la formule du multinôme (généraliser leigniz par exemple) ou alors applique leibniz à f et f², puis te débarasser des dérivées de f² avec encore un petit coups de leibniz.

Sinon ma méthode marche aussi (n'en démord pas, tête de veau inside)

[invite1e1a1a86]

je comprend pas tout a fait ta méthode thepasboss

sinon, pas besoin de généraliser Leibniz, on voit simplement que c'est une somme de f,f',f''.... avec leurs produits et des coefficients binomiaux tous positifs

utilise Leibniz à f*f² et tu sais déjà que si toute les dérivées de f sont >0, celle de f² aussi (par la partie sur tangente, tu viens de le faire)

[thepasboss]

Pour tout n>0, il existe une famille Pi, i variant de 1 à n, de polynômes à coéficients entiers positifs tels que :

pour tout x dans ]0,1[, .

A démontrer par récurrence et amène directement au résultat ^^

[invite1e1a1a86]

oui, ça marche aussi

[invite5858781a]

C'est quand même fastidieux ! Appliquer Leibniz trois fois deux suites ... Pour l'autre méthode, j'ai déjà effectué ce calcul.
Merci quand même.

[thepasboss]

Si tu as déjà fait ce calcul, tu as résolu l'exercice ^^

Et pour l'autre méthode, il n'y a rien de fastidieux, en appliquant directement et brutalement, tu obtiens une double somme en une ligne de calcul, et il n'est pas nécessaire de la manipuler ou de l'arranger, le résultat tombe immédiatement.

[invite5858781a]

Il est toujours bon d'avoir plusieurs outils dans sa caisse ! Même en double ! Bref, je trouve :


Ou je note .

Puis

Donc :



Dans tous les cas, il apparait des dérivations de la fonction f à un ordre inférieur ou égal à n, ce qui, par l'hypothèse de récurrence est positif.

Et de même :