suites à deux périodes

[kaderben]

Bonjour
Je connais des suites ou fonctions périodiques mais pas des suites ou fonctions à plusieurs périodes!
Pourrai je avoir un exemple d'une suite ou fonction à deux périodes par exemple ?
Merci
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[inviteaf1870ed]

Ici par exemple : la théorie des fonctions elliptiques

[breukin]

En particulier, les deux périodes ne peuvent pas être colinéaires. Leur rapport est nécessairement non réel.
(On ne considère pas le cas trivial où une des périodes n'est qu'un multiple entier de la période minimale - de la "vraie" période.)
La fonction est entièrement définie sur son "losange" de définition.
Si elle est analytique et non triviale, elle possède nécessairement un pôle dans son "losange" de définition, sinon, elle serait bornée donc constante.

[kaderben]

Bonjour
Merci pour vos réponses mais ça me dépasse complètement.
Au fait c'est du niveau terminale S pour le concours général de mathématiques.
Donc si vous pouvez me donner un cas concrêt (un exemple de suite à deux périodes: Un=...)
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Bonjour
Merci pour vos réponses mais ça me dépasse complètement.
Au fait c'est du niveau terminale S pour le concours général de mathématiques.
Donc si vous pouvez me donner un cas concrêt (un exemple de suite à deux périodes: Un=...)
Merci

je ne sais pas si c'est un bon exemple, mais je pense aux intégrales de Wallis par exemple.

Wn = INT(0,pi/2): (sin(x)^n)dx
on trouve facilement W0 et W1 et ensuite
on ne peut exprimer
Wn qu'en fonction de W(n-2)
donc on a deux suites à analyser et pas une, à partir d'une même formule de départ.

[kaderben]

Dans l'exercice III du concours général 2009 on lit à la ligne 5 :une suite peut avoir plusieurs périodes; est ce que c'est vraiment accessible aux éléves de terminale S ? Il y'a des éléments de correction mais c'est pas facile.

http://www.maths-express.com

[inviteaf1870ed]

En fait ici on définit une période sur une suite FINIE. Dans le cas de cet énoncé, il peut y en avoir plusieurs, mais elles sont forcément multiples l'une de l'autre.

Par exemple si tuprends la suite Un=sin(pin), elle est de période 2, mais aussi 4, 6, etc...
C'est pour cela que l'on définit en général LA période par le plus petit nombre T tel que f(x+T)=f(x) pour tout x.

[invite986312212]

ben on te donne la définition d'une période dans ce cas, je ne vois pas où est la difficulté, si ce n'est qu'il faut voir que ce n'est pas la définition habituelle (le plus petit entier k>0 tel que u(n)=u(n+k) ).

[breukin]

Si les deux périodes sont réelles et incommensurables, exemple 1 et e, alors la fonction est constante.
Pour avoir une fonction non constante ayant deux périodes qui ne soient pas multiples entier l'une de l'autre, alors, il faut que les périodes ne soient pas colinéaires, par exemple 1 et i.
Il existe une fonction analytique du plan complexe telle que f(z+n+im)=f(z) pour tous couples d'entiers n,m. Mais cette fonction a nécessairement un pôle dans le carré 0,1,1+i,i

[invitec7c23c92]

Une fonction réelle peut très bien avoir plusieurs périodes non commensurables, à condition bien sûr de ne pas être continue.

Exemple : soit f la fonction telle que f(x)=1 si x s'écrit a+b*racine(2), où a et b sont rationnels, et f(x)=0 sinon.

1 et racine(2) sont périodes de f.

[kaderben]

Bonjour
Telchar, peut on expliciter ta fonction ou non
puis les rationnels a et b sont quelconques ou faut il les déterminer.

1 et racine(2) sont deux périodes: donc f(x+1)=1 ou =0
f(x+racine(2))=1 ou =0 ou est ce que je me trompe!

Ericcc, tu dis:
"En fait ici on définit une période sur une suite FINIE. Dans le cas de cet énoncé, il peut y en avoir plusieurs, mais elles sont forcément multiples l'une de l'autre."

Lénoncé précise bien que a et b sont premier entre eux, donc les périodes a et b ne peuvent pas etre multiple l'une de l'autre.
merci

[invite986312212]

{0} est une suite finie et N est l'ensemble de ses périodes.

moins trivial: {0,1,0,1,0,0,1,0,1,0} est une suite finie de longueur 10, 5 et 7 en sont des périodes (ainsi que tous les entiers plus grands que 10)

[invitec7c23c92]

Bonjour
Telchar, peut on expliciter ta fonction ou non

Et bien, je l'ai donnée de façon explicite.

( On peut aussi dire que f est la fonction caractéristique de Q(racine(2)), l'ensemble des nombres de la forme a+b*racine(2) )

puis les rationnels a et b sont quelconques ou faut il les déterminer.

S'ils existent, ils dépendent de x.

1 et racine(2) sont deux périodes: donc f(x+1)=1 ou =0
f(x+racine(2))=1 ou =0 ou est ce que je me trompe!

Non, c'est plutôt :

f(x+1)=f(x)
et
f(x+racine(2))=f(x)





Pour revenir à la question de départ :

On appelle période de f un réel a tel f(x+a)=f(x) pour tout x.
L'ensemble des périodes de f est un sous groupe additif de R.

Alors il y a trois possibilités :

- Ce groupe est {0}, alors la fonction f n'est pas périodique.

- Ce groupe est de la forme t Z. Alors f est périodique et a une plus petite période strictement positive t. C'est une fonction périodique "gentille" comme on a l'habitude.

- Ce groupe est un sous groupe dense de R. Alors l'ensemble des périodes est dense, par exemple f a des périodes aussi proches de 0 que l'on veut. Dans ce cas f est forcément discontinue (ou constante).

[breukin]

Et si on passe dans les complexes :

On appelle période de f un complexe a tel f(z+a)=f(z) pour tout z.
L'ensemble des périodes de f est un sous groupe additif de C, j'imagine.

Alors il y a quatre possibilités, j'imagine :

- Ce groupe est {0}, alors la fonction f n'est pas périodique.

- Ce groupe est de la forme t Z, t complexe. Plutôt que "plus petite", on a une période principale, au signe près. C'est une fonction périodique "gentille" comme on a l'habitude. Exemple : exp(z).

- Ce groupe est de la forme t Z + u Z, t et u complexes non colinélaires (avec 0). On a un losange de définition. C'est une fonction doublement périodique "gentille" comme on a moins l'habitude.
Si on rajoute des conditions d'analycité, on tombe sur les fonctions elliptiques, les quelles ont nécessairement au moins un pôle dans leur losange de définition.

- Ce groupe est un sous groupe dense de C. Alors l'ensemble des périodes est dense, par exemple f a des périodes aussi proches de 0 que l'on veut. Dans ce cas f est forcément discontinue (ou constante).

[invitec7c23c92]

Il faut quand même ajouter à la liste le cas où le groupe des périodes est (entre guillemets) discret dans une direction et dense dans une autre, par exemple Q(racine(2))+iZ.
C'est à nouveau un cas sauvage, et la fonction est nécessairement discontinue (ou constante sur les droites parallèles au sous groupe dense)

[kaderben]

Je vous remercie tous mais je n'ai pas le niveau pour comprendre les groupes denses et ainsi de suite.

Telchar m'a donné un exemple:
Soit f la fonction telle que f(x)=1 si x s'écrit a+b*racine(2), où a et b sont rationnels, et f(x)=0 sinon.
1 et racine(2) sont périodes de f.

et il ajoute:a et b dépendent de x.Avec ça je ne suis pas avancé.
Si je comprends bien on ne peut jamais connaitre a et b et on ne saura jamais l'expression de la fonction. Avec l'expression de f je comprendrai mieux. Encore merci et j'arrete de vous embêter.

[invitec317278e]

le problème est que les fonctions possédant ce genre de périodes seront soit complètement triviales (fonction nulle, etc...), soit un peu tordues, et on aura alors du mal à trouver le genre d'expression simple que tu veux.

[invitec7c23c92]

"f(x)=1 si x s'écrit a+b*racine(2), où a et b sont rationnels, et f(x)=0 sinon" est l'expression de la fonction.

On ne trouvera pas de jolie formule avec des x, +, *, -, /, parce qu'il n'en existe pas pour cette fonction là.

Si on la traçait, on verrait un nuage de point sur l'axe des abscisses, et un nuage de points plus clairsemés, mais néanmoins denses, sur la droite d'équation y=1 ; c'est une fonction un peu "pathologique".

[kaderben]

Merci pour ces explications.Maintenant je commence à comprendre un peu "l'esprit de ce genre de fonction"
Merci