Bonjour,
Je cherche à démontrer un résultat statistique lié à un problème multimodale.
Le problème peut se ramener à l’expérience suivante :
Soit une urne contenant des boules de trois couleurs différentes, rouge, verte et banche.
Pb : probabilité de sortir une boule blanche
Pr : probabilité de sortir une boule rouge
Pv : probabilité de sortir une boule verte
A chaque essai n boules sont tirées, on a alors :
Nb : nombre de boules blanches
Nr : nombre de boules rouges
Nv : nombre de boules vertes
ce qui m’intéresse c’est la variance de la variable aléatoire X=Nr-Nv
On a :
VAR(X)=VAR(Nr-Nv)=VAR(Nr)+VAR(Nv)-2COV(Nr,Nv)
Pour les deux premiers termes on a le résultat classique rattaché à la loi binomiale:
VAR(Nr)=nPr(1-Pr)
VAR(Nv)=nPv(1-Pv)
Pour le troisième terme je ne parviens pas à réduire l’expression, mais il semblerait que le résultat soit simplement :
COV(Nr,Nv)= -nPrPv
Quelqu’un saurait-il démontrer cela ? Existe-il une méthode simple, une astuce particulière pour réduire l’expression de la covariance ?
Merci.
-----