Demonstration du théoreme de Birchkoff et extention aux billards

[invite3a97487a]

Bonjour,
Je suis élève en math-sup et je recherche une démonstration du théoreme de Birchkoff abordable. En effet je m'interesse depuis peu aux propriétés des billards (notament la non-ergodicité de certains billards convexes comme les billards élliptiques) et tous les documents que je possede sur le sujet parlent de ceux fameux théoreme. Ils parlent aussi du théoreme KAM mais la c'es deja l'enoncé qu'il faudrait m'expliquer ^^
D'ailleurs si certains connaissent des preuves abordables montrant que certains billards polyédrals comme le billard carré sont ergodique je suis prennant^^
merci d'avance
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[invitea07f6506]

Les démonstration usuelles de ce théorème sont relativement courtes, quoique non intuitives. Cependant, j'aimerais savoir dans quel situation tu te places, et à quels outils on a droit : il est assez difficile de parler de théorie ergodique sans faire appel à la théorie de la mesure, qui n'est pas enseigné en maths sup. Bref, as-tu déjà vu la théorie de la mesure, on doit-on se cantonner au cas de la mesure de Lebesgue (i.e. de l'intégrale usuelle) ?

Les propriétés des billards les plus simples peuvent être retrouvées assez facilement si l'on s'y prend bien et qu'on dispose des bons outils, j'en parlerai plus tard.

[invite3a97487a]

En effet je n'ai rien vu de tout cela en cour, et je n'ai pas compris grand chose aux cours sur la théorie de la mesure que j'ai trouvés sur internet (excepté justement ce qu'est un espace mesurable et la mesure de Lebesgue).
Pour l'instant j'ai montré que le billard carré étais ergodique en le "depliant" à l'infini. Et que le billard élliptique ne l'était pas à cause de ses propriétés géometriques.
Donc les outils que j'ai sont assez restreint pour le moment...
D'ailleur peut être connaissiez vous un cour abordable sur internet?
Enfin merci d'avoir apporté un première reponse aussi rapide!

[invitea07f6506]

Si tu te débrouilles bien en anglais, il y a un excellent livre sur les billards, dont le premier chapitre est assez abordables - ça tombe bien, il est disponible en ligne. Les choses se compliquent par la suite, mais il y a quand même quantité d'idées à glaner pour un débutant (ou pas, d'ailleurs). Ce bouquin t'expliquera les choses bien mieux que personne sur un forum, je pense. Il devrait être disponible en BU.

Pour la curiosité, on peut aussi aller lire des articles de Poincaré et de Birkhoff. D'une part ils sont bien écrits, et d'autre part leurs approches font appels à des outils plus basiques (pas de théorie de la mesure), ce qui pourrait les rendre plus compréhensibles. Quitte à faire moins en 30 pages que ce que l'on fait maintenant en 5, en contrepartie.

Edit : et on écrit "Birkhoff". Ca pourrait aider en cas de recherche

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3a97487a]

Merci je vais lire ce livre et essayer de trouver quelques articles de poincarré sur le sujet. Et en effet désolé pour la faute^^.
Si j'ai d'autre question m'autorise tu à t'envoyer un message?

[invitea07f6506]

Pas de problème, même si je ne serai peut-être pas d'un grand secours.

PS : et Poincaré

[invite3a97487a]

Salut, ca fais un moment que je suis pas retourné sur le post. Finalement ce sujet est devenue mon TIPE, merci de m'avoir orienté initialement Serait ce possible de connaître ton nom et ton prenom afin de te signaler sur ma fiche synoptique ? Merci d'avance