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Solution Tanx=x, équivalents et limites



  1. #1
    soterelle2

    Solution Tanx=x, équivalents et limites


    ------

    Bonsoir ! =)

    J'ai une petit problème avec l'exercice suivant :

    1) Soit n dans N.
    Montrer que l'équation tan(x)=x admet une unique solution dans l'intervalle ]-pi/2 + n*pi ; pi/2 + n*pi [.

    (cette unique solution est à présent notée )

    2)Justifier que est équivalent à (n*pi) et déterminer l=lim(-n*pi)
    (n tend vers l'infini)

    3) Déterminer un équivalent simple de (-n*pi-l).

    J'ai réussit la question 1 (je trouve n*pi), mais je bloque pour la deuxième.

    Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

    Merci d'avance !

    -----

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  4. #2
    KerLannais

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    Salut,

    Quand tu dis que tu trouves tu veux dire que pour toi

    de sorte que

    et en particulier, pour
    ?

    si c'est le cas je comprends que tu sois bloqué

    Une aide pour la deuxième question. Sans utiliser le fait que soit solution de , quel est le meilleur encadrement de que l'on puisse faire?
    Les mathématiques ne s'apprennent pas elles se comprennent.

  5. #3
    phadeb

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    Je vois pas trop ce que tu cherche à démontrer

    Ca : ?

    (sin(2 x))/(cos(2 x)+1) = x

  6. #4
    soterelle2

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    effectivement si ça ne va pas m'aider pour la suite ^^

    Mais pourquoi dis tu que ?

    Comment dois je faire alors si n'est pas la solution ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    breukin

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    Fais un dessin, et tu comprendras graphiquement que va tendre vers 0.

  9. #6
    phadeb

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites


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  11. #7
    soterelle2

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    effectivement ... Hum, autant pour moi ! ^^

    Quel est la méthode alors ? =)

  12. #8
    breukin

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    Merci à java de ne pas poser une question dans la discussion d'un autre. Initiez votre propre discussion.

    Dans l'intervalle considéré, quel est le comportement de la fonction tan x – x ? (étude des variations)
    Ceci permet d'en déduire l'unicité du zéro dans l'intervalle.
    Pour l'équivalence, il suffit de montrer que le rapport tend vers 1 en se servant de la majoration liée à l'intervalle.
    Pour la limite, le mieux, c'est le changement de variable proposé, qui permet effectivement de montrer que epsilon va tendre vers 0.

  13. #9
    invite06622527

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    Bonjour,

    (pour information) dans les handbooks de maths, les solutions de l'équation tg(x)=x sont données sous la forme du développement en série suivant :
    Images attachées Images attachées  

  14. #10
    breukin

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    Cele semble être des séries asymptotiques, c'est-à-dire des séries divergentes.
    Pour chaque n, il existe un nombre optimal de termes, conduisant à la meilleure valeur approchée. Pour n=1, l'erreur commise est donc assez importante.

  15. #11
    KerLannais

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    c'est difficile de guider sans donner la solution

    montrer que
    1-

    (facile d'après leur définition)
    2-

    en déduire la limite de grace au résultat du point 1-

    3- Montrer que de façon général

    et en utilisant le développement limité de en retrouver le développement asymptotique donné par JJacquelin
    Les mathématiques ne s'apprennent pas elles se comprennent.

  16. #12
    soterelle2

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    J'ai vraiment du mal à trouver ... Au secours

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  18. #13
    breukin

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    Il ne s'agit pas surtout pas de trouver un sous forme de formule. Mais de faire des raisonnement pour démontrer des propriété de un.

    Avez-vous réussi à démontrer l'existence d'une unique solution dans l'intervalle mentionné ?

  19. #14
    soterelle2

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    Oui pour l'unicité, mais, si on ne connais pas , comment justifier que est équivalent à ?

  20. #15
    God's Breath

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    Bonjour soterelle2,

    Par définition de , on a , donc .

    On déduit de cet encadrement que , c.-à-d. que .

    Tout l'exercice est basé est basée sur des manipulations des propriétés de , mais sans connaître explicitement .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  21. #16
    soterelle2

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    Ok, merci =D
    J'ai juste une petite question ar raport a ce vous avez écrit : ça ne seraient pasplutot des inégalités strictes ?

    Et seconde question : étant donné que et équivalent à nPi on a l=0 ?

  22. #17
    breukin

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    Peu importe le type d'inégalité.
    Si un est équivalent à n.pi, à quoi est équivalent un+a ?
    Regardez le dessin, vous voyez bien vers quoi tend la différence, que le zéro se rapproche de plus en plus de l'asymptote verticale de droite (de son intervalle).
    Après il s'agit de formaliser ce qu'on voit sur le dessin.

  23. #18
    soterelle2

    Re : Solution Tanx=x, équivalents et limites

    Merci à tous pour votre aide ! =)

    Bonne fin de soirée

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