Solution Tanx=x, équivalents et limites

[invitef8712b6f]

Bonsoir ! =)

J'ai une petit problème avec l'exercice suivant :

1) Soit n dans N.
Montrer que l'équation tan(x)=x admet une unique solution dans l'intervalle ]-pi/2 + n*pi ; pi/2 + n*pi [.

(cette unique solution est à présent notée )

2)Justifier que est équivalent à (n*pi) et déterminer l=lim(-n*pi)
(n tend vers l'infini)

3) Déterminer un équivalent simple de (-n*pi-l).

J'ai réussit la question 1 (je trouve n*pi), mais je bloque pour la deuxième.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci d'avance !
-----

[KerLannais]

Salut,

Quand tu dis que tu trouves tu veux dire que pour toi

de sorte que

et en particulier, pour
?

si c'est le cas je comprends que tu sois bloqué

Une aide pour la deuxième question. Sans utiliser le fait que soit solution de , quel est le meilleur encadrement de que l'on puisse faire?

[invite88eaa547]

Je vois pas trop ce que tu cherche à démontrer

Ca : ?

(sin(2 x))/(cos(2 x)+1) = x

[invitef8712b6f]

effectivement si ça ne va pas m'aider pour la suite ^^

Mais pourquoi dis tu que ?

Comment dois je faire alors si n'est pas la solution ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Fais un dessin, et tu comprendras graphiquement que où va tendre vers 0.

[invite88eaa547]

[invitef8712b6f]

effectivement ... Hum, autant pour moi ! ^^

Quel est la méthode alors ? =)

[breukin]

Merci à java de ne pas poser une question dans la discussion d'un autre. Initiez votre propre discussion.

Dans l'intervalle considéré, quel est le comportement de la fonction tan x – x ? (étude des variations)
Ceci permet d'en déduire l'unicité du zéro dans l'intervalle.
Pour l'équivalence, il suffit de montrer que le rapport tend vers 1 en se servant de la majoration liée à l'intervalle.
Pour la limite, le mieux, c'est le changement de variable proposé, qui permet effectivement de montrer que epsilon va tendre vers 0.

[invite63e767fa]

Bonjour,

(pour information) dans les handbooks de maths, les solutions de l'équation tg(x)=x sont données sous la forme du développement en série suivant :

[breukin]

Cele semble être des séries asymptotiques, c'est-à-dire des séries divergentes.
Pour chaque n, il existe un nombre optimal de termes, conduisant à la meilleure valeur approchée. Pour n=1, l'erreur commise est donc assez importante.

[KerLannais]

c'est difficile de guider sans donner la solution

montrer que
1-

(facile d'après leur définition)
2-

en déduire la limite de grace au résultat du point 1-

3- Montrer que de façon général

et en utilisant le développement limité de en retrouver le développement asymptotique donné par JJacquelin

[invitef8712b6f]

J'ai vraiment du mal à trouver ... Au secours

[breukin]

Il ne s'agit pas surtout pas de trouver u_n sous forme de formule. Mais de faire des raisonnement pour démontrer des propriété de u_n.

Avez-vous réussi à démontrer l'existence d'une unique solution dans l'intervalle mentionné ?

[invitef8712b6f]

Oui pour l'unicité, mais, si on ne connais pas , comment justifier que est équivalent à ?

[invite57a1e779]

Bonjour soterelle2,

Par définition de , on a , donc .

On déduit de cet encadrement que , c.-à-d. que .

Tout l'exercice est basé est basée sur des manipulations des propriétés de , mais sans connaître explicitement .

[invitef8712b6f]

Ok, merci =D
J'ai juste une petite question ar raport a ce vous avez écrit : ça ne seraient pasplutot des inégalités strictes ?

Et seconde question : étant donné que et équivalent à nPi on a l=0 ?

[breukin]

Peu importe le type d'inégalité.
Si u_n est équivalent à n.pi, à quoi est équivalent u_n+a ?
Regardez le dessin, vous voyez bien vers quoi tend la différence, que le zéro se rapproche de plus en plus de l'asymptote verticale de droite (de son intervalle).
Après il s'agit de formaliser ce qu'on voit sur le dessin.

[invitef8712b6f]

Merci à tous pour votre aide ! =)

Bonne fin de soirée