Question rapide sur les supplémentaires

[Thoy]

Bonsoir,

Juste une simple question, voici mon énoncé :

f application linéaire de L(E) E, Kev de dimension finie.
1) On suppose E=Kerf(+)Imf. Montrer que Imf est inclus dans Imf², en déduire Imf=Imf² et Kerf=Kerf².
2) On suppose Imf=Imf², mq Kerf=Kerf² et déduire que l'intersection de Kerf et Imf est réduite au vecteur nul donc qu'on a une somme directe.

Je sais le démontrer sans utiliser l'argument de dimension, mais comment clarifier cela clairement et simplement si je sais que E est de dimension finie ? N'y a-t-il pas une astuce ?


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[ericcc]

Connais tu le théorème du rang ?

[Thoy]

Bien sûr, oui. Je ne comprend pas la logique des questions en fait, et comment déterminer par rapport aux dimensions.

Je pourrais facilement dire Imf=Imf² si je savais qu'ils ont même dimension, mais bon reste le problème du rapport aux dimensions...

[ericcc]

Pour le 1/ tu n'as pas besoin d'argument de dimension pour montrer que Imf² est inclus dans Im f...
Par contre tu peux utiliser l'argument de dimension pour montrer que Kerf et Kerf² sont égaux (indice : l'un est trivialement inclus dans l'autre)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thoy]

Je vais essayer, merci

[Thoy]

Je ne vois pas, une fois démontré Imf inclus dans Imf², comment en déduire Imf=Imf² et Kerf=Kerf²... Peux-tu m'aider ?