Equation sur un corps fini

[Bleyblue]

Bonjour,

Connaissez-vous une référence où il est question de la résolution de l'équation sur le corps fini avec ?

Je suis occupé à lire un article dans lequel ils affirment que pour le cas ou seraient nuls, l'équation admet une unique solution ; dans le cas contraire l'équation n'admet aucune solution si et seulement si

Je ne vois toutefois pas comment cela se démontre ...

merci
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[Bleyblue]

Heu je pense déja qu'une partie de ce résultat est faux car x² + x admet deux solutions sur le corps à deux éléments ...

[Seirios]

Bonjour,

Juste par curiosité, que notes-tu ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

Juste par curiosité, que notes-tu ?

On note le corps fini à éléments.

Je suis occupé à lire un article dans lequel ils affirment que pour le cas ou seraient nuls, l'équation admet une unique solution ; dans le cas contraire l'équation n'admet aucune solution si et seulement si

Je ne vois pas bien ce que veut dire : « seraient nuls».
Tous les trois sont nuls ? Le problème est simplifié à l'extrême...
Un et un seul est nul ? Si c'est , on a une équation du premier degré qui a une solution unique ; si c'est , l'équation a deux racines, et ; ssi c'est ...
Un au moins est nul ? alors...

En fait la condition de trace me fait penser que le premier cas évoqué est celui où est nul, et que l'on s'intéresse dans tous les cas à une équation du second degré, donc que est supposé non nul.

Comme est fini de caractéristique 2, l'application est un isomorphisme du corps sur lui-même.

Si , l'équation se met sous la forme et admet une solution unique (sous la forme d'une racine double...) .

Si , l'équation se met sous la forme , avec et et la condition pour que cette équation n'admette aucune solution, qui va porter sur et pourrait bien être .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

On note le corps fini à éléments.

Le ? C'est-à-dire à un isomorphisme près ?

[invite97a92052]

Le ? C'est-à-dire à un isomorphisme près ?

C'est ça, il n'y en a qu'un seul ! (et q est nécessairement la puissance d'un nombre premier d'ailleurs)

[invitec7c23c92]

Si on prend deux corps à q éléments, ils sont forcément isomorphes. Il n'y a donc qu'une structure de corps à q éléments, et on peut le noter F_q sans qu'il y ait d'ambiguité.

[invite57a1e779]

Le ? C'est-à-dire à un isomorphisme près ?

Oui, comme LE corps des nombres réels, ou LE corps des nombres complexes, ou... ils sont uniques à isomorphisme près.

[Seirios]

Merci pour vos réponses

[Médiat]

Le ? C'est-à-dire à un isomorphisme près ?

Question intéressante (à cause des deux mots en gras), et dont la réponse n'est pas universellement consensuelle (il y a eu des discussions sur ce sujet).

J'avais ouvert un post sur ce sujet :
http://forums.futura-sciences.com/ma...ematiques.html

[Bleyblue]

Je ne vois pas bien ce que veut dire : « seraient nuls».
Tous les trois sont nuls ? Le problème est simplifié à l'extrême...
Un et un seul est nul ? Si c'est , on a une équation du premier degré qui a une solution unique ; si c'est , l'équation a deux racines, et ; ssi c'est ...
Un au moins est nul ? alors...

En fait la condition de trace me fait penser que le premier cas évoqué est celui où est nul, et que l'on s'intéresse dans tous les cas à une équation du second degré, donc que est supposé non nul.

Comme est fini de caractéristique 2, l'application est un isomorphisme du corps sur lui-même.

Si , l'équation se met sous la forme et admet une solution unique (sous la forme d'une racine double...) .

Si , l'équation se met sous la forme , avec et et la condition pour que cette équation n'admette aucune solution, qui va porter sur et pourrait bien être .

Si je comprend bien (l'article est en anglais ) ils affirment que si un quelconque des coefficients est nuls l'équation admet une unique solution, mais c'est clairement faux ...

Ok je vais essayer de voir avec ça.

merci !

[Seirios]

Question intéressante (à cause des deux mots en gras), et dont la réponse n'est pas universellement consensuelle (il y a eu des discussions sur ce sujet).

J'avais ouvert un post sur ce sujet :
http://forums.futura-sciences.com/ma...ematiques.html

J'avoue ne pas avoir vraiment compris l'essentiel du post : Est-ce à dire que si l'on considère deux corps (A,+,.) et (B,x,*) avec A et B de même cardinal p, alors il existe un unique isomorphisme dans le langage des corps entre (A,+,.) et (B,x,*), d'où la justification de la notation de comme le corps à p éléments ?

[Médiat]

J'avoue ne pas avoir vraiment compris l'essentiel du post : Est-ce à dire que si l'on considère deux corps (A,+,.) et (B,x,*) avec A et B de même cardinal p, alors il existe un unique isomorphisme dans le langage des corps entre (A,+,.) et (B,x,*), d'où la justification de la notation de comme le corps à p éléments ?

Effectivement ce post a été motivé par certaines interventions sur ce sujet dans un autre post (je ne sais plus lequel), et sans avoir eu connaissance du premier post, tout n'est pas clair, désolé.

Pour résumer, soit E et F deux structures sur un même langage, alors plusieurs cas sont possibles :

1) E et F ne sont pas élémentairement équivalentes
2) E et F sont élémentairement équivalentes, mais non isomorphes
3) E et F sont isomorphes, mais il existe plusieurs isomorphismes
4) E et F sont isomorphes, et il existe un seul isomorphisme


Il me paraît impossible d'utiliser l'article défini dans le cas 1, par exemple, dire "Le groupe à 4 éléments", alors que et ne vérifient pas les mêmes formules, ne permet pas de savoir de quoi l'on parle.

Personne n'a contesté l'usage de l'article défini dans le cas 4.

Les cas discutables sont le 3 et le 4.

Dans le cas 3, comme aucune formule ne permet de distinguer les deux structures, l'article défini pourrait être justifié, mais ces structures sont distinctes si on utilise un ensemble infini de formules (et intellectuellement, c'est assez intuitif me semble-t-il de ne pas confondre le corps des réels et un autre corps vérifiant les mêmes formules du premier ordre, mais non archimédien).

Dans le cas 4, à titre personnel, je n'ai aucune restriction à l'usage de l'article défini, mais cela gêne certains, cf. mon exemple sur le "l'ordre du losange" (ce n'est pas un manga ).

[Seirios]

Où est passé le cas 2 dans tout ça ?

[Médiat]

Où est passé le cas 2 dans tout ça ?

J'ai mal numéroté , voici le bon texte :


Pour résumer, soit E et F deux structures sur un même langage, alors plusieurs cas sont possibles :

1) E et F ne sont pas élémentairement équivalentes
2) E et F sont élémentairement équivalentes, mais non isomorphes
3) E et F sont isomorphes, mais il existe plusieurs isomorphismes
4) E et F sont isomorphes, et il existe un seul isomorphisme

D'ailleurs j'aurais du écrire
1) il existe des modèles non élémentairement équivalents
2) tous les modèles sont élémentairement équivalents, mais pas tous isomorphes
3) tous les modèles sont isomorphes, mais il existe plusieurs isomorphismes entre deux d'entre eux
4) tous les modèles sont isomorphes, et il existe un et un seul isomorphisme entre deux d'entre eux


Il me paraît impossible d'utiliser l'article défini dans le cas 1, par exemple, dire "Le groupe à 4 éléments", alors que et ne vérifient pas les mêmes formules, ne permet pas de savoir de quoi l'on parle.

Personne n'a contesté l'usage de l'article défini dans le cas 4.

Les cas discutables sont le 2 et le 3.

Dans le cas 2, comme aucune formule ne permet de distinguer les deux structures, l'article défini pourrait être justifié, mais ces structures sont distinctes si on utilise un ensemble infini de formules (et intellectuellement, c'est assez intuitif me semble-t-il de ne pas confondre le corps des réels et un autre corps vérifiant les mêmes formules du premier ordre, mais non archimédien).

Dans le cas 3, à titre personnel, je n'ai aucune restriction à l'usage de l'article défini, mais cela gêne certains, cf. mon exemple sur le "l'ordre du losange" (ce n'est pas un manga ).

[Bleyblue]

Bon, pour en revenir à mon équation

J'ai trouvé un résultat dans un livre de références qui affirme que pour avec , si et seulement si il existe tel que

Mon résultat découle de ça.

merci