Bonsoir,
Lorsqu'on calcule le polynome caractéristique d'une matrice, on cherche les solutions de celui-ci. Qu'appelle t-on ordre de multiplicité de la valeur propre ?
Exemple :
P(X)=-(X+1).(X-1)^2
La valeur propre 1 aurait une multiplicité de 2 et son espace propre associé est de dimension 2.
Est ce extact ?
Merci pour votre aide.
Oui, la multiplicité d'une valeur propre, c'est sa multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.Envoyé par alphons
Dans l'exemple, la valeur propre 1 est de multiplicité 2, et la valeur propre -1 est de multiplicité 1.
Par contre le seul renseignement que l'on ait sur l'espace propre associé à la valeur propre 1 est que sa dimension est inférieure ou égale à la multiplicité 2 de la valeur propre.
Bienvenue dans les subtilités
Il y a deux multiplicités pour une valeur propre lambda :
- la multiplicité algébrique : le degré de (X-lambda) dans le polynôme caractéristique
- la multiplicité géométrique : la dimension de l'espace propre associé à lambda.
Règle d'or => En règle générale, ces nombres sont différents !
(l'un est toujours plus grand que l'autre. exercice : quel est le plus grand ?)
Ici, ayant comme seule information le polynôme caractéristique que tu nous a donné, il nous est impossible de déterminer la dimension de l'espace propre associé à la valeur propre 1.
EDIT : je n'ai pas tout à fait la même définition que God's Breath, mais peut-être est-ce une définition pas très universelle que l'on m'a enseigné à l'époque ?
Il y a effectivement des hésitations de vocabulaire.
Les dénominations "multiplicité algébrique" et "multiplicité géométrique" ont l'avantage d'être claires. Le terme employé par alphons est "ordre de multiplicité" que j'ai toujours vu comprendre dans le sens de "multiplicité algébrique" puisqu'il s'agit historiquement de "l'ordre de multiplicité de la racine du polynôme caractéristique".
Bonjour,
Merci pour vos réponses claires et précises. En prépa, on utilise vulgairement ordre de multiplicité des racines mais il s'agit bien de la multiplicité algébrique.
Encore merci et bonne journée.
la multiplicité algébrique est plus grande ou égale à la multiplicité géométrique.
