Bonjour,
Ca fait un moment que je me pose cette question ... alors bien sûr, pour '+', et 'x', N n'est pas un groupe.
Mais existe-t-il une loi T telle que (N,T) est un groupe ?
Vu la gueule de N, la réponse me semble négative, j'ai alors essayé de raisonner par l'absurde en supposant l'existence d'une telle loi, et de rentrer en contradiction avec les axiomes de N ... mais rien de bien concluant.
Quelqu'un aurait une piste ?
Merci,
Seb
L'ensemble Z muni de l'addition est un groupe.
Il existe une bijection f de Z dans N.
On peut donc transporter la structure de groupe additif de Z en une structure de groupe sur N, f étant alors un isomorphisme.
Pour n'importe quel ensemble E, il existe une loi de composition interne * sur E tel que (E,*) soit un groupe.
Un argument ?Pour n'importe quel ensemble E, il existe une loi de composition interne * sur E tel que (E,*) soit un groupe.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Avec axiome du choix et Hypothèse généralisée du continu, c'est assez évident puisque tout ensemble de cardinal supérieur au dénombrable est de la forme P(E) pour un E bien choisi, et P(E) muni de la différence symétrique est un groupe, pour le dénombrable, il y a (Z, +) et pour le fini, il y a (Z/nZ, +).Envoyé par Phys2
La seul exception est l'ensemble vide.
Autre argument sans HGC, mais non constructible : La théorie des groupes admet des modèles infinis ((Z, +) par exemple), donc elle admet des modèles dans tous les cardinaux infinis (théorème de Lowhenheim-Skolem).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
tiens, autre théorème général sur les groupes: tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe de permutations.
Maintenant, je pars d'un ensemble quelconque E, il existe une loi qui en fait un groupe; ce groupe est un sous-groupe du groupe des permutations d'un certain ensemble F. Est-ce qu'on peut dire quelque-chose d'universel sur la relation entre E et F ? (éventuellement "le plus petit F" si on peut le définir)
Tous ce qu'on peut dire, c'est que card E <= card P(F) puisque E s'injecte dans le groupe des permutations de F. et si d'autre part on suppose F minimal, on a card P(E) >= card P(F) car on prendre prendre E=F (E etant un groupe il agit sur lui meme par permutation)
donc finalement on a card F <= card E <= card P(F)
et on peut trouver des exemple ou il y à égalité d'un coté ou de l'autre... donc on peut pas faire mieux...
Je suis d'accord avec la première partie, pour dire queet
If your method does not solve the problem, change the problem.
On ne transporte pas la loi de groupe parce que f est un isomorphisme.
On transporte la loi de groupe donc f est un isomorphisme.
La loi de groupe sur N est définie par :
Ah merci ! Je lutte depuis des années contre le nom "isomorphisme de groupe", "isomorphisme de corps", ou "isomorphisme de xxx", le bon vocabulaire est "isomorphisme du langage des groupes" ou "isomorphisme du langage des xxx".Je suis d'accord avec la première partie, pour dire que
Ici, dans l'exemple de God's Breath, (Z, +) est un groupe.
Soit f est une bijection de N dans Z (donc, à ce point il n'est pas question d'opération).
On définit l'opération * sur N de la façon suivante :
k = n*m ⇔ f(k) = f(n) + f(m). f étant une bijection, il est facile de montrer que cette opération est bien définie.
f étant une bijection, et vérifiant la relation ci-dessus, f est bien un isomorphisme du langage des groupes, et donc (N, +) et (Z, *) sont isomorphes, a fortiori élémentairement équivalentes, donc (Z, *) est bien un groupe.
Vous pouvez faire l'exercice à la main en prenant une bijection de N dans Z, par exemple la fonction qui à un nombre n fait correspondre n/2 si n est pair, et -(n-1)/2 si n est impair.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je ne vois pas bien ce que le élémentairement équivalentes apporte au raisonnement. Ne suffit-il pas de dire que (N,+) et (Z,*) sont isomorphes ?f étant une bijection, et vérifiant la relation ci-dessus, f est bien un isomorphisme du langage des groupes, et donc (N, +) et (Z, *) sont isomorphes, a fortiori élémentairement équivalentes, donc (Z, *) est bien un groupe.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Elémentairement équivalentes = vérifient les mêmes formules.
Des structures isomorphes sont a fortiori élémentairement équivalente, mais c'est cette propriété qui dit que si l'une est un groupe, l'autre aussi (sinon il faut faire la démonstration que si deux structures sont isomorphes dont l'une est un groupe alors l'autre est un aussi un groupe).
Je sais que ce théorème est souvent oublié, alors qu'il est nécessaire, la définition de "isomorphisme" n'incluant pas cette propriété, et je préfère ne pas me reposer sur le non-dit en mathématique.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
D'accord, merci
If your method does not solve the problem, change the problem.
Merci à vous !
... et une certitude qui s'envole ... vous venez de briser le rêve d'un enfant!
Yaisse ! Encore un !... et une certitude qui s'envole ... vous venez de briser le rêve d'un enfant.
En me relisant je m'aperçois que j'ai plusieurs fois écrit (N, +) et (Z, *), alors qu'il faudrait lire (Z, +) et (N, *).
Et voilà une certitude qui s'envole, et un rève de vieillard qui se brise
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
