une erreur d'enoncé ?

[thepasboss]

Bonsoir,

Dansle cadre d'un petit exercice d'algèbre, on me demande lors d'une petite question préliminaire de prouver que :

Si I est un idéal de A, A un anneaux, alors l'ensemble des matrice à coefficient dans I de taille n (Mat_n (I) ) est un idéal bilatère de Mat_n (A). Mais pour que ceci soit vrai, à moins d'une subtilité qui m'échappe totalement, il faut que I soit lui aussi bilatère non ?

Est se un oubli dans la rédaction de l'exercice ou alors dire que I est un idéal de A sans préciser si celui ci est un idéal à gauche ou à droite veut implicitement dire que I est un idéal bilatère de A ?
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[invite57a1e779]

L'anneau A sur lequel on définit l'espace des matrices ne serait-il pas commutatif ?

[thepasboss]

Ce n'est pas mentionné, donc je suppose que non. Sinon oui la question ne se pose pas et I est bien bilatère.

[invite57a1e779]

dire que I est un idéal de A sans préciser si celui ci est un idéal à gauche ou à droite veut implicitement dire que I est un idéal bilatère de A ?

C'est un raccourci qui est parfois utilisé. Ce qui est curieux dans ton énoncé, c'est que A et Mat_n(A) ne soient pas soumis à la même convention, puisque l'on précise bilatère dans un cas, et pas dans l'autre.

Il doit effectivement y avoir une erreur d'énoncé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[thepasboss]

Merci bien, cela me rassure : je ne suis pas fou et il n'y a pas à priori de sombre astuce transformant Mat_n(I) en idéal bilatère si I ne l'est pas ^^

PS : merci aussi pour la confirmation sur la convention, celà m'évitera probablement quelque douleurs cérébrales lors de mes exam.