courbe et formule Green-Riemann

[invitef7cb9c5c]

Bonjour
soit D un domaine où x et y sont des réels et (x-1)(x+2)+y²=0
donc j'ai un cercle comme God's Breath me l' a expliqué (ce n'est donc pas une surface)
et soient p(x,y)= y³/ (x²+y²)² et Q(x,y)= -x y²/(x²+y²)²

le calcul des dérivées partielles de P par rapport à X et de Q par rapport à y montre qu'elles sont égales donc leur différence est nulle

et on me demande si je peux en déduire I
avec I= intégrale sur D de (p(x,y)dx+q(x,y)dy)

les conditions de la formule de green-riemann ne sont pas respectées: pas de continuité des dérivvées partielles
mais comme cette formule semble s'appliquer aux calculs de surface je me demande si c'est un bon argument?

par ailleurs j'ai lu que la nullité de cette différence donne qu'on est dans un cas exact mais à quoi ça sert de savoir ça?

merci pour les éclaircissements que vous prendrez le temps de m'apporter ,bonne journée
fifrelette
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[invite57a1e779]

Tu disposes d'une forme différentielle qui est définie dans l'ouvert constitué du plan privé de l'origine.
Du fait que , cette forme différentielle est fermée.
Comme n'est pas simplement connexe, on ne peut pas en déduire que est exacte.
Si la courbe sur laquelle on calcule l'intégrale curviligne n'entourait pas l'origine, elle serait homotope, dans , à un point, et l'intégrale serait nulle (utiliser par exemple la formule de Green-Riemann).
Comme, dans l'exercice, le cercle fait le tour de l'origine, on ne peut rien conclure quant à la valeur de l'intégrale. On est obligé de la calculer, et il y a pour ce faire plusieurs méthodes :
– paramétrer le chemin d'intégration ;
– scinder le chemin d'intégration en morceaux contenus dans des ouverts sur lesquels la forme est exacte, et se ramener à utiliser des primitives de la forme ;
– interpréter l'intégrale comme l'intégrale d'une fonction holomorphe sur et utiliser le théorème des résidus.

[invitef7cb9c5c]

Bonjour God's Breath
oui le cercle fait le tour de l'origine , est-ce que tu pourrai m'expliquer pourquoi cela ne permet pas de conclure à propos de la valeur de l'intégrale?
merci
fifrelette

[invite57a1e779]

Parce qu'on ne peut pas inclure le cercle dans un ouvert simplement connexe sur lequel la forme soit définie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef7cb9c5c]

là je ne comprends rien du tout
peux tu essayer de me le dire autrement?
merci
fifrelette

[invite57a1e779]

Il y a une singularité à l'origine, tu en fais le tour pour la voir sous tous les angles, la valeur de l'intégrale te renseigne dans une certaine mesure sur la singularité. Mais, tu ne peux pas savoir à l'avance comment se présente la singularité.
S'il n'y avait pas cette singularité, tu saurais à l'avance que le cercle n'a rien à entourer, qu'il n'y a rien à voir, et donc que l'intégrale est nulle.

[invitef7cb9c5c]

Alors , si l'origine était à l'extérieur du cercle, on aurait pu utiliser la formule de green-riemann pour trouver I?

[invite57a1e779]

Bien sûr : puisque la forme différentielle aurait été définie dans tout le disque, on aurait pu transformer l'intégrale curviligne sur le cercle en une intégrale double dans le disque.

[invitef7cb9c5c]

ça y est, là je crois que j'ai compris
merci God's Breath
fifrelette