les équations au dérivée partielle et les distributions

[invitef8bd6408]

Bonjour tout le monde. Au cours on a vu les équations aux dérivée partielles et comment les résoudre à l'aide des distributions mais je me pose une question.

Si je note la distribution associée à la fonction (qui est infiniment continument dérivable) et si on me donne une fct (infiniment continument dérivable) après avoir résolu mes dérivées partielle, j'obtiens, par exemple, , puis-je dire que ?

merci d'avance.
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[invitea4377e7f]

Bjr,
Oui parce que la "distributionnisation" d'une fonction C1 est un injection qui commute à la dérivation (ce n'est pas tres dure de voir que c'est unjectif et ca doit etre fait dans le bouquin, et de voir que ca commute a la dérivation est un trivialité, c'est la formule d'intégration par partie).

[invitef8bd6408]

ah ui.... on a et si alors . C'est bien ca?

merci

[invitec1ddcf27]

Bonjour,

C'est toujours chiant de rechigner à identifier une fonction et la distribution qu'elle définit, la notation u_f est pénible. Bon moralement, la question que tu pose est la suivante : si j'ai une fonction régulière qui est solution d'une edp au sens des distributions, alors c'est en fait une solution forte. Les arguments abstraits, je n'y comprend rien (je suis un peu idiot), il me semble qu'il est plus clair de revenir aux définitions :



signifie que



Soit donc une fonction test. Par définition de la dérivation au sens des distributions, on a alors



Et donc, par définition de l'action d'une fontion locamement intégrable sur une fonction test et linéarité, il vient



la dernière égalité en intégrant par partie, ce qui licite puisque qu'on intégre sur un intervalle borné et que les fonctions f et phi sont C^1. Finalement, on a obtenu que



Ce qui implique point par point (au sens classique). Ce dernier passage, c'est le seul truc intelligent... cela parait évident, il faut trouver un bon argument (j'en ai un en tête un peu long, si tu en trouves un très court, je suis preneur)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1ddcf27]

pardon, le dernier point est lui aussi évident. Il faut montrer que si vérifie



alors w=0. Eh bien par l'absurde : si w est non nulle, par continuité, elle est de signe constant un ouvert borné non vide, et il suffit de prendre une fonction test positive a support dans cette ouvert pour obtenir une contradiction. (sauf erreur de ma part, cela pouvait donc se faire de manière élémentaire, sans utiliser de grandes phrases pédantes... grandes phrases qui peuplent trop souvent les bouquins d'un niveau élevé et les articles de recherches )

[invitea4377e7f]

pardon, le dernier point est lui aussi évident. Il faut montrer que si vérifie



alors w=0. Eh bien par l'absurde : si w est non nulle, par continuité, elle est de signe constant un ouvert borné non vide, et il suffit de prendre une fonction test positive a support dans cette ouvert pour obtenir une contradiction. (sauf erreur de ma part, cela pouvait donc se faire de manière élémentaire, sans utiliser de grandes phrases pédantes... grandes phrases qui peuplent trop souvent les bouquins d'un niveau élevé et les articles de recherches )

Désolé, mais je n'ai pas utilisé de "grandes phrases pédante", ce que j'ai ecrit n'est ni plus ni moins la meme chose que toi.

J'ai ecrit que u:f->u_f, est une injection, ce qui est l'objet de ton second message, et qu'elle commute a la dérivation pour les fonctions C1, ce qui veut dire que la dérivée de la distribution de la fonction, est la distribution associée à la dérivée... Donc dans le style grande phrase pédante tu repasseras, c'est vraiment elementaire ce que j'ai dit.

[invitec1ddcf27]

trop fort, j'aime bien provoquer un peu les gens... oui merci, j'avais très bien compris ce que tu avais écris. Sauf que tu n'as rien démontré. Effectivement, tout est élémentaire, mais je trouve toujours dommage de balayer d'une phrases ce type de raisonnements. Parce que si toi tu est capable de les écrire mathématiquement, ce n'est pas le cas de tout le monde. Et c'est une mauvaise habitude des gens que d'apprendre par coeur ces phrases toutes faites sans jamais prendre la peine d'en comprendre le sens. Et à mon avis, a la vue du second message de TD1234, il me semble assez clair qu'il n'a pas compris grand choses à ce que tu lui avais dis.......
Par ailleurs, quand tu dis que ton injection se trouve dans la littérature, je n'en suis pas sur. Classiquement, c'est fait pour des fonctions . Comme je l'ai montré, c'est encore plus simple pour des fonctions continues, et c'est tout de même mieux de le remarquer que d'appeler la littérature à la rescousse.
Bref, c'est un débat sur le style mathématique. Tu dois être un amateur du style des auteurs comme Godement. Pas moi.

[invitef8bd6408]

merci, j'ai bien compris maintenant...