Dimension
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Dimension



  1. #1
    invite3424b43e

    Dimension


    ------

    Bonjour!

    J'ai une question d'un exercice, je tourne en rond, et je vous demande donc un peu d'aide :

    J'ai u endomorphisme de E et v=u²-u (dimE=3)
    On a =0 et rg(u)=2.
    et w une fonction de dans E qui à x associe

    Je dois déterminer .

    Je ne vois pas trop comment faire..

    -----

  2. #2
    inviteaf1870ed

    Re : Dimension

    Je ne vois pas trop à quoi servent v et w dans ton exo ?
    Sinon tu sais (ou tu démontres) que le Ker de u est inclus strictement dans celui de u², qui lui meme est inclus strictement dans celui de u^3.
    Tu fais ensuite un petit tableau avec les dimensions de Im et de Ker pour u, u² et u^3, en utilisant le théorème du rang.

  3. #3
    invite3424b43e

    Re : Dimension

    J'ai mis l'énoncé il y a d'autres questions, je me suis dit qu'il fallait peut-être utilisé ces deux autres fonctions!

    J'essaye, mais est-ce que c'est vrai ?

  4. #4
    inviteaf1870ed

    Re : Dimension

    Je pense que v et w joueront un rôle plus tard. L'important c'est de bien comprendre que les "noyaux itérés" sont emboités les uns dans les autres.

    As tu trouvé la dim de Ker(u²) ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite3424b43e

    Re : Dimension

    Non c'est précisément la question, d'après une question précédente j'ai démontré que

    Donc que la dimension de Ker u² est inférieure ou égale à 2. Mais après je ne vois pas...

  7. #6
    inviteaf1870ed

    Re : Dimension

    La dimension de Ker u² ne peut etre que 1 ou 2.
    Suppose que ce soit 1, qui est aussi la dimension de Ker u. Comme Keru est inclus dans Keru² et qu'ils ont même dimension, ils sont égaux.
    Mézalor pour tout x tel que u²(x)=0, on a u(x)=0.
    Or u²(u(x))=0 pour tout x, car u est nilpotent d'indice3 par hypothèse.
    Donc u(x) est dans Keru², donc dans Keru.
    Autrement dit u(u(x))=0 pour tout x, ce qui est contraire à l'hypothèse sur l'indice de nilpotence de u.
    Donc Dim(Keru²)=?

  8. #7
    US60
    Invité

    Re : Dimension

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Je ne vois pas trop à quoi servent v et w dans ton exo ?
    Sinon tu sais (ou tu démontres) que le Ker de u est inclus strictement dans celui de u², qui lui meme est inclus strictement dans celui de u^3.
    Tu fais ensuite un petit tableau avec les dimensions de Im et de Ker pour u, u² et u^3, en utilisant le théorème du rang.
    je m'immisce si Ker u strict < Ker u² < Ker u³ on devrait avoir

    1< dimKeru²<dimKeru³ or u³=0 donc dimKeru³=0 et
    1< dimKeru²<0 !!!! Horreur

  9. #8
    invite3424b43e

    Re : Dimension

    Ah oui d'accord, c'est plus clair, merci

  10. #9
    US60
    Invité

    Re : Dimension

    si u³=0 c'est rgu³=3 excuse me et dimKeru³=3=dimE

  11. #10
    US60
    Invité

    Re : Dimension

    Citation Envoyé par US60 Voir le message
    je m'immisce si Ker u strict < Ker u² < Ker u³ on devrait avoir

    1< dimKeru²<dimKeru³ or u³=0 donc dimKeru³=0 et
    1< dimKeru²<0 !!!! Horreur
    US60 n'écris pas des bêtises réfléchis ( comme le miroir ) avant

  12. #11
    invite3424b43e

    Re : Dimension

    non?

  13. #12
    US60
    Invité

    Re : Dimension

    Citation Envoyé par Thoy Voir le message
    non?
    Si je viens de l'écrire...car Im u³ est réduite à l'élément neutre

  14. #13
    inviteaf1870ed

    Re : Dimension

    Citation Envoyé par US60 Voir le message
    je m'immisce si Ker u strict < Ker u² < Ker u³ on devrait avoir

    1< dimKeru²<dimKeru³ or u³=0 donc dimKeru³=0 et
    1< dimKeru²<0 !!!! Horreur
    C'est faux, comme tu l'as remarqué. Et tu n'as pas prouvé l'inégalité stricte 1<dim Ker u² !
    Il faut faire un peu de travail pour démontrer les inclusions strictes des noyaux itérés, et en déduire la dimension de Ker u².

    cf mon message supra

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