Bonjour!
J'ai une question d'un exercice, je tourne en rond, et je vous demande donc un peu d'aide :
J'ai u endomorphisme de E et v=u²-u (dimE=3)
On a=0 et rg(u)=2.
et w une fonction de
Je dois déterminer
Je ne vois pas trop comment faire..
Je ne vois pas trop à quoi servent v et w dans ton exo ?
Sinon tu sais (ou tu démontres) que le Ker de u est inclus strictement dans celui de u², qui lui meme est inclus strictement dans celui de u^3.
Tu fais ensuite un petit tableau avec les dimensions de Im et de Ker pour u, u² et u^3, en utilisant le théorème du rang.
J'ai mis l'énoncé il y a d'autres questions, je me suis dit qu'il fallait peut-être utilisé ces deux autres fonctions!
J'essaye, mais est-ce que c'est vrai ?
Je pense que v et w joueront un rôle plus tard. L'important c'est de bien comprendre que les "noyaux itérés" sont emboités les uns dans les autres.
As tu trouvé la dim de Ker(u²) ?
Non c'est précisément la question, d'après une question précédente j'ai démontré que
Donc que la dimension de Ker u² est inférieure ou égale à 2. Mais après je ne vois pas...
La dimension de Ker u² ne peut etre que 1 ou 2.
Suppose que ce soit 1, qui est aussi la dimension de Ker u. Comme Keru est inclus dans Keru² et qu'ils ont même dimension, ils sont égaux.
Mézalor pour tout x tel que u²(x)=0, on a u(x)=0.
Or u²(u(x))=0 pour tout x, car u est nilpotent d'indice3 par hypothèse.
Donc u(x) est dans Keru², donc dans Keru.
Autrement dit u(u(x))=0 pour tout x, ce qui est contraire à l'hypothèse sur l'indice de nilpotence de u.
Donc Dim(Keru²)=?
je m'immisce si Ker u strict < Ker u² < Ker u³ on devrait avoirEnvoyé par ericcc
1< dimKeru²<dimKeru³ or u³=0 donc dimKeru³=0 et
1< dimKeru²<0 !!!! Horreur
Ah oui d'accord, c'est plus clair, merci
si u³=0 c'est rgu³=3 excuse me et dimKeru³=3=dimE
US60 n'écris pas des bêtises réfléchis ( comme le miroir ) avant
Si je viens de l'écrire...car Im u³ est réduite à l'élément neutre
C'est faux, comme tu l'as remarqué. Et tu n'as pas prouvé l'inégalité stricte 1<dim Ker u² !
Il faut faire un peu de travail pour démontrer les inclusions strictes des noyaux itérés, et en déduire la dimension de Ker u².
cf mon message supra
