Bonjour je suis en premiere année d'école d'ingénieur et je n'arrive pas a m'en sortir avec cet exercice:
E est un espace vectoriel sur K, f et g sont des endomorphismes de E, montrez que:
Ker(g o f)=Kerf <=>Imf inter (U a l'envers) Kerg={0}
J'ai essayé de partir dans un sens comme dans l'autre je n'arrive pas à montrer une quelconque implication. Quelqu'un pourrait il me donner une piste pour commencer dans un sens ou dans l autre?
Pour le sens =>
1) Si tu as x dans E avec g(f(x)) = 0, que peux tu dire de f(x) ?
2) Ensuite, prends un vecteur quelconque de Im(f) inter Ker(g), traduis ça en deux informations sur y et en utilisant 1), déduis que y = 0.
Pour l'autre sens, on verra plus tard, peut-être celui-ci te donnera des idées.
L'autre sens ne devrais pas poser de problème : en partant de kerg={0}, tu devrais aboutir au résultat ker(gof)=kerf.
Si tu ne vois pas, essaye de comprendre pourquoi on a l'inclusion, quelque soit f, que kerf est inclus dans ker(gof)
Que ce soit pour l'un ou l'autre des sens, l'idéal est de faire des dessins. Essaye de représenter les espaces de départ et d'arrivé des fonctions, ainsi que les différents ker(). Ca devrait te donner un peu d'intuition si tu ne vois pas par quelle étape il faut passer.
Merci beaucoup a tous les deux pour vos réponses je pense que ca m'a bien permis d'avancer.
Alors concernant l inclusion:
1) Si g(f(x))=0 alors f(x)=0
2) Pour etre dans Imf inter Kerg , il faut que y=f(x) et que g(f(x))=0, or quand g(f(x))=0 on a f(x)=0 donc y=f(x)=0.
Ainsi Imf inter Kerg= {0}
Pour l'autre sens je manque un peu de temps mais voici une ébauche de reflexion:
Tous les x pour qui f(x)=0 sont solutions de g(f(x))=0, donc f(x) est inclut dans gof(x). Ainsi si kerg={0} alors seul x=0 est solution de g(x)=0 et kerf sera l'ensemble des x tel que f(x)=0 et ker(gof) sera l'ensemble des x tels g(f(x))=0 ce équivaut a f(x)=0.
Ker(gof) et Kerf sont donc les mêmes ensembles.
Le seul truc c est que Imf inter Kerg = {0} , je ne vois pas bien pourquoi cela signifierait que Kerg = {0}, il pourrait avoir d'autres éléments non ?
Pensez vous que ce que j'ai fait pour le moment est correcte?
Je me re-consacrerai à cet exercice ce soir.
Bonne après midi à tous, et a nouveau merci pour votre aide.
