Espace Vectoriel et Application

[invite51b91b54]

J'ai un nouvelle exercice ou je coince un peu :

Et en faite, je coince un peu sur la b)

Soit l'application T : R2[X] ---> R2[X]
P(X) ---> 2(X+1)P(X)-(X²-2X+1)P'(X)

a) Montrer que T est une application linéaire

b) Donner la matrice M de T relativement à la base canonique C = {1; X ; X²}

c ) Déterminer la noyau et l'image de T

2) a) Montrer que B = { 1 ; X-1 ; (X+1)² } est une base de E = R2[X]

b) Déterminer les images de T des vecteurs de la base B

c)Déterminer les coordonnées relativement à la base B des images de T des vecteurs de la bases B.

d) Déterminer la matrice N de T relativement à la base B



Pouvez vous m'aider pour la 1)b) ?
Merci !
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[invitec053041c]

Salut.

Que vaut T(1), T(X) et T(X²) en fonction de 1,X et X² ?

[invite51b91b54]

T(1) = 2(X+1)

T(X) = 2X(X+1)-(X²-2X+1)

T(X²) = 2X²(X+1)-(X²-2X+1)2X

mais je ne vois pas la matrice demandé ...
Peux tu détailler la réponse ?

Merci

[invitec6a67b2e]

T(1) = 2(X+1)= 2x+2

T(X) = 2X(X+1)-(X²-2X+1) = 2x²+2x-x²+2x-1 = x²+4x-1

T(X²) = 2X²(X+1)-(X²-2X+1)2X = 2x³+2x²-2x³+4x²-2x = 6x²-2x

La matrice cherché est la matrice des coeff des polynome dans la base canonique de R₂[X]



premiere colonne t(1) deuxième t(x) troisieme t(x²)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51b91b54]

merci pour la réponse,
Et pour la question 1 c), avez vous des idées car je bloque également
Merci !

[invitec053041c]

merci pour la réponse,
Et pour la question 1 c), avez vous des idées car je bloque également
Merci !

Pour trouver le Ker et l'Im, tu peux travailler directement sur ta matrice..

[invite51b91b54]

Pour le noyau : J'ai essayer de de poser P(x) = a + bX + cX² et P'(X) = b + 2cX
Mais je récupère une l'équation suivante : 2a-b + X(2a + 4b -2c) + X² (b+6c) =0

[invitebb921944]

Ou alors tu fais comme a dit Ledescat, tu résous AX=0 où A est ta matrice et X un vecteur quelconque ! (pour le ker)
Pour ton équation , ca revient à dire que chaque coefficient est nul.

[invite51b91b54]

oki donc, je pose 2a-b =0 ; 2a + 4b -2c = 0; b+6c=0
ce qui me donne le vecteur nul : (0,0,0)

Et pour l'image de T, c'est bien ma matrice ?
Im T = ((2,2,0);(-1,4,1);(0,1,6)) ?

[invite51b91b54]

pour la question 2)b)
je trouve :
T(b1) = 2X+2
T(b2) = 2X^2-2
T(b3) = 4X^2+4X

Ma matrice Q de passage est bien ( 2 -2 0)
( 2 0 4)
( 0 2 4)

???

Et donc [T(b1)]E = (0,4,4) ?

[invite51b91b54]

Oups erreur de calcul :

T(b1) = 2X+2
T(b2) = X^2+2X-1
T(b3) = 8X^2+8X

et donc la matrice est :
( 2 1 0)
( 2 2 8)
( 0 -1 8)


Et [T(b1)]E = (6,8,-2) ?

[invitebb921944]

Sinon ta matrice est fausse de toute manière car tu as inversé un -1 et un 1.
Je n'ai pas vérifié le calcul pour B3 (si en fait il est bon)