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Espace Vectoriel et Application



  1. #1
    max38

    Espace Vectoriel et Application


    ------

    J'ai un nouvelle exercice ou je coince un peu :

    Et en faite, je coince un peu sur la b)

    Soit l'application T : R2[X] ---> R2[X]
    P(X) ---> 2(X+1)P(X)-(X²-2X+1)P'(X)

    a) Montrer que T est une application linéaire

    b) Donner la matrice M de T relativement à la base canonique C = {1; X ; X²}

    c ) Déterminer la noyau et l'image de T

    2) a) Montrer que B = { 1 ; X-1 ; (X+1)² } est une base de E = R2[X]

    b) Déterminer les images de T des vecteurs de la base B

    c)Déterminer les coordonnées relativement à la base B des images de T des vecteurs de la bases B.

    d) Déterminer la matrice N de T relativement à la base B



    Pouvez vous m'aider pour la 1)b) ?
    Merci !

    -----

  2. #2
    Ledescat

    Re : Espace Vectoriel et Application

    Salut.

    Que vaut T(1), T(X) et T(X²) en fonction de 1,X et X² ?
    Cogito ergo sum.

  3. #3
    max38

    Re : Espace Vectoriel et Application

    T(1) = 2(X+1)

    T(X) = 2X(X+1)-(X²-2X+1)

    T(X²) = 2X²(X+1)-(X²-2X+1)2X

    mais je ne vois pas la matrice demandé ...
    Peux tu détailler la réponse ?

    Merci

  4. #4
    _Aravis

    Re : Espace Vectoriel et Application

    T(1) = 2(X+1)= 2x+2

    T(X) = 2X(X+1)-(X²-2X+1) = 2x²+2x-x²+2x-1 = x²+4x-1

    T(X²) = 2X²(X+1)-(X²-2X+1)2X = 2x3+2x²-2x3+4x²-2x = 6x²-2x

    La matrice cherché est la matrice des coeff des polynome dans la base canonique de R2[X]



    premiere colonne t(1) deuxième t(x) troisieme t(x²)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    max38

    Re : Espace Vectoriel et Application

    merci pour la réponse,
    Et pour la question 1 c), avez vous des idées car je bloque également
    Merci !

  7. #6
    Ledescat

    Re : Espace Vectoriel et Application

    Citation Envoyé par max38 Voir le message
    merci pour la réponse,
    Et pour la question 1 c), avez vous des idées car je bloque également
    Merci !
    Pour trouver le Ker et l'Im, tu peux travailler directement sur ta matrice..
    Cogito ergo sum.

  8. #7
    max38

    Re : Espace Vectoriel et Application

    Pour le noyau : J'ai essayer de de poser P(x) = a + bX + cX² et P'(X) = b + 2cX
    Mais je récupère une l'équation suivante : 2a-b + X(2a + 4b -2c) + X² (b+6c) =0

  9. #8
    invite43219988

    Re : Espace Vectoriel et Application

    Ou alors tu fais comme a dit Ledescat, tu résous AX=0 où A est ta matrice et X un vecteur quelconque ! (pour le ker)
    Pour ton équation , ca revient à dire que chaque coefficient est nul.

  10. #9
    max38

    Re : Espace Vectoriel et Application

    oki donc, je pose 2a-b =0 ; 2a + 4b -2c = 0; b+6c=0
    ce qui me donne le vecteur nul : (0,0,0)

    Et pour l'image de T, c'est bien ma matrice ?
    Im T = ((2,2,0);(-1,4,1);(0,1,6)) ?

  11. #10
    max38

    Re : Espace Vectoriel et Application

    pour la question 2)b)
    je trouve :
    T(b1) = 2X+2
    T(b2) = 2X^2-2
    T(b3) = 4X^2+4X

    Ma matrice Q de passage est bien ( 2 -2 0)
    ( 2 0 4)
    ( 0 2 4)

    ???

    Et donc [T(b1)]E = (0,4,4) ?

  12. #11
    max38

    Re : Espace Vectoriel et Application

    Oups erreur de calcul :

    T(b1) = 2X+2
    T(b2) = X^2+2X-1
    T(b3) = 8X^2+8X

    et donc la matrice est :
    ( 2 1 0)
    ( 2 2 8)
    ( 0 -1 8)


    Et [T(b1)]E = (6,8,-2) ?

  13. #12
    invite43219988

    Re : Espace Vectoriel et Application


    Sinon ta matrice est fausse de toute manière car tu as inversé un -1 et un 1.
    Je n'ai pas vérifié le calcul pour B3 (si en fait il est bon)

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