Convergence d'une série et somme

[invitec94283aa]

Bonjour,

Soit la série numérique qui est la somme de 0 à +inf de (n/(n+1))ⁿ , je dois déterminer la convergence de la série puis une somme éventuelle si convergence.

J'ai un corrigé de cet exercice mais je ne comprends pas quelques étapes :

- (n/(n+1))ⁿ=e^-n.ln(1+1/n) ok pour ça
- mais après je bloque complet le corrigé nous dit que lim en +inf de (n/(n+1))ⁿ est égal à e^-1, je ne vois pas pourquoi puisque 1/n tend vers 0 puis il reste donc n.ln1 mais ln1=0
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[invitebf89bef5]

Bonjour

Ton erreur est de faire tendre n vers l'infini à l'intérieur du ln mais pas le n devant, en fait tu arrives à une indétermination puisque ln(1+1/n) tend vers 0 et n tend vers + infini ce qui fait 0*infini qui est une forme indéterminée.

Mais cette indétermination se lève très facilement en effectuant un DL à l'ordre 1 de ln(1+1/n) , tu auras donc un produit d'exponentiel

=e^-1*e^o(1)

en passant à la limite tu obtient donc la limite donnée par l'énoncé e^-1

sachant cette limite tu en déduis la nature de la série numérique.

[invitec94283aa]

D'accord on trouve donc une limite en +inf différent de 0 donc divergence grossière

J'ai un autre souci avec une série, normalement il faudrait refaire une nouvelle discussion mais cela va être rapide
Voici la série : somme de 1 à +inf de 1/ln(n)
Comment l'aborder ? Il n'y a pas de divergence grossière deja, est ce que je peux comparer peut être
Lim en +inf de n.1/ln(n) est égal à +inf donc la série diverge , c'est juste ?

[invite6f25a1fe]

Tu es sûr que tu parles bien de série là ??? J'ai plus l'impression que tu traite juste la suite Un définit par , non ?

dans ce cas, ta première étape est bonne. C'est bien par là qu'il faut chercher (de façon général,on passe par l'exponentielle dès qu'on a des exposant en fonction de n dans les suites, c'est plus simple)

Ensuite, il s'agit de faire un DL du ln()
Tu as

Donc quand on reporte ce DL dans l'exponentielle, on obtient :
, ce qui montre bien que l'exposant tend vers -1 (car le reste est négligeable devant une constante, donc va tendre vers 0)

P.S : Ha, zut, encore grillé, et par 2 personnes ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec94283aa]

J'ai posté un message plus haut en même temps que scorp, sûrement qu'il n'a pas été vu

[bubulle_01]

Pour ta série avec l'inverse du logarithme, tu peux utiliser que pour , et conclure grâce à la divergence de la somme des inverses.

[invitebf89bef5]

Tu dis d'abord que c'est une série à termes positifs
Puis tu la compares non pas à n/ln(n) mais à 1/n

Il faut faire une comparaison par "o"

tu dis que lim ln(n)/n=0

donc 1/n=o(1/ln(n))

or la série 1/n diverge par comparaison la série 1/ln(n) aussi

[invitec94283aa]

merci pour vos réponses