Anneau K[X]/(P) où P est dans K[X]

[invitedf72ed21]

Bonjour,

une petite question :

Soit K un corps, et P et Q deux polynomes de K[X]
irréductibles dans K[X].
Soit L le corps K[X]/(P)
Est-ce que l'anneau L[X]/(Q) (où Q est alors élément
de L[X]) est aussi un corps ?

Merci pour vos réponses.

David
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[invite57a1e779]

Que se passe-t-il si K est le corps des réels, P et Q deux polynômes irréductibles du second degré ?

[invitedf72ed21]

Je ne sais pas ...
Pourquoi ?

[invitedf72ed21]

tu parles par exemple de P(X) = X^2 + 1 ?
Dans ce cas, R[X]/(P) est isomorphe à C non ?
et donc Q est scindé donc ça marche pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf72ed21]

Mais alors existe des cas où
L[X]/(Q) est un corps ?

[invitedf72ed21]

Oui ça doit exister par exemple
pour K = IR
P = X^2 - 3
et Q = X^2 - 2

Je me trompe ou pas ?

[invite14e03d2a]

Oui ça doit exister par exemple
pour K = IR
P = X^2 - 3
et Q = X^2 - 2

Je me trompe ou pas ?

P et Q ne sont pas irréductibles pour

[invite57a1e779]

Est-ce que l'anneau L[X]/(Q) (où Q est alors élément de L[X]) est aussi un corps ?

A quelle condition, nécessaire et suffisante, portant sur Q, l'anneau L[X]/(Q) est-il un corps ?

[invitedf72ed21]

P et Q ne sont pas irréductibles pour

Oui pardon, en fait je voulais dire K = Q

[invitedf72ed21]

A quelle condition, nécessaire et suffisante, portant sur Q, l'anneau L[X]/(Q) est-il un corps ?

Il faut et il suffit que Q soit irréductible dans L[X] non ?

[invite57a1e779]

Oui, mais l'irréductibilité de dans ne permet pas de conclure à son irréductibilité dans .

Considère , et qui est irréductible dans , mais pas dans .

De même si et si est irréductible du second degré, alors , et le quotient est un corps si et seulement si est du premier degré.

[invitedf72ed21]

Merci pour ces infos je comprends mieux maintenant !